Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Ps(A)
P(B)
(см. § 1.3, п. 2, формула (1.7)),
получить условные законы распределения составляющих. Так, условный закон распределения X в предположении, что событие Y= уже произошло, может быть найден по формуле
Р(х,, м)
рЫУ\) = ¦
Р(У\)
/= 1, 2, ..., п.
(3.9)
Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y. Например, условный закон распределения Y в предположении, что событие X=X2 уже произошло, есть
, I . p(x2,yj) . , »
Мхг) = ^toT' у=1' 2'
т.
Замечание. Сумма вероятностей условного распределения авна единице. Действительно, например,
P(Xuyj)
J-1
__ і
P(X1) P(X1)
J-1
Это свойство используют для контроля вычислений. Пример. Дискретная двумерная случайная величина задана аблицей
X Y У і Уг
Xl 0,10 0,06
Х2 0,30 0,18
Xj 0,20 0,16
* Кратко обозначают Pyl(X).
87 Найдем условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая У приняла значение yt.
Решение. Искомый закон определяется совокупностью условных вероятностей:
P(xi\yi), P(Xilyl), РІХгІУд-
Воспользовавшись формулой (3.9) и приняв во внимание данные указанной таблицы (р(х,, у,) = 0,10, р(х2, у,) = 0,30, />(х3, у,) =0,20) и что /7(^,) = 0,60 (§ 3.1, пример), имеем:
„, |„ч Р(х\,У\) 0,10 і
I , Ч р(хг,У\) 0,30 1
РІХ3,уі) _ O1M _ і РІУі) 0,60 з ¦
Pix1I yt)
2. Условные законы распределения составляющих двумерных непрерывных случайных величин.
Пусть (X, Y) — непрерывная двумерная случайная величина.
Определение. Условной плотностью ф(х | у) распределения составляющей X при данном значении Y=y называют отношение двумерной плотности вероятности f(x, у) к плотности вероятности fi(y) составляющей Y:
tp^ = W- (ЗЛ0)
Отличие условной плотности ф(х|у) от плотности f,(x) составляющей X состоит в том, что функция ф(х|у) дает распределение X при условии, что составляющая /приняла значение Y= у, функция же/(х) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y.
Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при данном значении X= х:
Viylx) = (ЗЛІ)
Формулы (3.10) и (3.11) с учетом формул (3.8') и (3.8) могут быть переписаны и в следующем виде:
/ I \ /(*> у)
, I V /(*> У) Viz(J-Ix)
\f(x,y)dx Я*, У)
+ ее
}/(*, y)dy
88 Заметим, что, как и всякая плотность, условные плотности обладают свойствами:
+ Oo
Ф(х|у)>0, Jq>(jc|jOAr = l,
+ее
V(J-I*)>0, \v(y\x)dy = \.
Пример. Пусть двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью вероятности
f(x, у) = Ь!1е-*'г-6*У-9Уг.
Требуется найти условные плотности вероятности составляющих X и Y.
Решение. Ранее (см. § 3.4, пример) были найдены плотности вероятности составляющих X и Y
Мх) = Де-»\ /2(У) = 1ДЛ"\ Поэтому, согласно формулам (3.10) и (3.11), найдем:
Ф (XiJO = -^e-M')1
\|/(j>| х) = -jLe-<* + w2.
-Jtz
§ 3.6. Независимость случайных величин
Теорема. Для того чтобы случайные величины XuY были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функции ее составляющих:
F{x, у) = F1(X)F2(V).
Доказательство.
Необходимость. Пусть X и Y независимы. Тогда события Х<х и Y<y независимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей.
Р(Х<х, Y < у) = Р(Х < х) P(Y < у),
или
F(x, у) = Fix)F2(у).
Достаточность. Пусть F(x, у) = Ft(x)Fi(y). Отсюда следует, 4To вероятность совмещения событий Х<х и Y<y равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, величины X и Y независимы.
89 Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность вероятности системы (X, Y) была равна произведению плотностей вероятности составляющих X и Y:
Ях, у) =А(х)Л(у).
Пример. Двумерная непрерывная случайная величина (X, К) задана плотностью вероятностей
Г-7 sin де sin у в квадрате S {0 < х < тс, 0 < у < л}, f(x, у) = j4
[О вне квадрата S.
Докажите, что составляющие X и Y независимы.
Решение. Согласно формуле (3.8)
fi(x) = т f s'n* sinydy = -I cosуГ-sin л: = sin де.
4 Jo 4 ^ Io 2
Аналогично согласно формуле (3.8')
/2 OO = у sin у
и, значит,
А(х, У) =А(х)Аг(.У), т. е. случайные величины X и Y независимы.
§ 3.7. Элементы теории корреляции
1. Корреляционная зависимость. Часто приходится иметь дело с более сложной зависимостью, чем функциональная. Такова, например, связь между осадками и урожаем или связь между толщиной снегового покрова зимой и объемом стока последующего половодья. Здесь каждому значению одной величины соответствует множество возможных значений другой величины. Подобного рода зависимости относятся к корреляционным зависимостям.
Определение 1. Две случайные величины X и К находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению любой из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой величины.
Определение 2. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при Y= у (у—определенное возможное значение Y) называется сумма произведений возможных значений величины X на их условные вероятности:
