Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
F(x, у) = sin xsinу (О < X < у, 0 < у < у).
fix, у) = F^(x, у).
(3.2)
82 Плотность вероятности fix, j>) обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной случайной величины.
1. Плотность вероятности двумерной случайной величины неотрицательна:
f{x, у) > 0.
Действительно, разделив обе части равенства (3.1) на площадь прямоугольника ABCD AxAy (Ах=хг -хи Ау = уг-у\) и дважды воспользовавшись формулой Лагранжа, получим
«*<*<*.***<»> = FZixl + BAx, у, + G1A у).
Перейдя здесь к пределу при Дх-*0 и Ay-* 0, находим
F"ix V) = lim
гхукх, у) 4ііш АхАу
откуда и следует свойство 1.
2. Обозначим событие, состоящее в попадании случайной точки (X, Y) в область D, так: ІХ, Y) a D. Тогда вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) в область D (аналогично одномерному случаю) равна
PiiX,Y)aD)=\\fix,y)dxdy. (3.3)
D
Пример 1. Найдем плотность вероятности fix, у) случайной величины (X, Y) по известной функции распределения
Fix, у) = (I arctg X + - j) (і arctg у +.
Решение. Имеем
Fx"y(x,y)= 1
'л:y\~,S> л2(1 + JC2)(1 + у2) '
Отсюда, согласно формуле (3.2),
Ах, У) = -Tt—!-
ти2(1 +JC2Xl + у2)'
3. j]fix,y)dxdy = \. (3.4)
Это свойство следует из того, что интеграл слева в последнем равенстве есть вероятность попадания случайной точки ІХ, Y) во всю плоскость хОу, т. е. вероятность достоверного события.
6* 83 Пример 2. Двумерная плотность вероятности двух случайных величин X, Y
^x' = (9 + х2)(16 + у2)' Найдем величину С.
Решение. Согласно формуле (3.3), имеем
cI Ьт
dxdy
(9 + х2)(16 + у2)
= 1.
Но
Г f f dxdV = f dx f dy
Л. JJ9 + jf2X'6 + у2) I9 + *2 116 + У2
= ^(arctgf)|(arctgzjf = l.f.f,i|
С 12
с 12 Tt2 '
и, значит, откуда
Пример 3. В круге X2 + у2<4 плотность вероятности двумерной случайной величины f{x, у) = -^2 - Jx2 + у2 j, а вне его Ах, у) = 0.
Найдем вероятность попадания случайной точки (X, Y) в круг D{x2 + у2 < 1}.
Решение. Согласно формуле (3.3), имеем
Р{(Х, Y) с D) = AJJJ2 -Jxi + y^dxdy.
D
Перейдя здесь к полярным координатам, найдем
2г 1
Л(Л\ Г, с D) = A JdlpJ<2-р,рф =
-E-2""-*
о о 1
3 2 J
4 ' 3 2'
2. Отыскание функции распределения двумерной случайной величины по известной двумерной плотности вероятности.
Из формулы (3.2) имеем
У
j fix, y)dy = F;(x, у) - F;(x, ),
84 откуда
Jt у
J J Дх, y)dxdy = F(x, у) - F(-OO1 у) - F(x, + F(-«о, -co). Ho (см. § 3.2, n. 1)
F(X, = F{~ J,) = f(-00, -CP) = 0.
Следовательно,
F(x, jO = J j/(x, y)dxdy. (3.5)
Пример. Пусть задана двумерная плотность вероятности случайной величины (X, К)
^x' ^ = (4 + *2)(25 + у1)'
Найдем функцию распределения.
Решение. Согласно формуле (3.5),
p^ У) =i J(4+*2)(25 + >-2) =
§ 3.4. Нахождение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
Пусть известна двумерная плотность вероятности f(x, у) случайной величины (X, Y). Тогда функция распределения F(x, у) определяется формулой
Jt У
F(x, у) = J J/(x, y)dxdy,
откуда
x +-
F(x,+~) = \dx \f(x,y)dy. (3.6)
С другой стороны (см. § 3.2, п. 1)
F(x, +-) = F1(X), (3.7)
где Fi(X) — функция распределения составляющей X. Из равенств (3.6) и (3.7) находим
x +«
F1(X) = \dx J Дх, y)dy.
85 Отсюда
Ф-ІЛІ.Л*
или
+OO
ZiW = J f(x,y)dy, (3.8)
где fix) — плотность вероятности составляющей X.
Аналогично получим формулу для плотности вероятности составляющей У:
+ее
fAy) = \?x,y)dx. (3.80
Пример. Двумерная случайная величина {X, Y) задана плотностью распределения
1-Я
fix, У) = е **2- 6*у- 9'2.
Найдем плотности распределения составляющих X и Y.
Решение. Найдем плотность распределения составляющей X по формуле (3.8)
fix) = Щ Je-**2-«V"2dy = ^e-3x2Je-I* +Wdy = = l?-e->*2Je-b*>y>2d(3y) = у[їе->*2,
о
так как интеграл
Je-.'dt = ^
о
(см. приложение 1).
Аналогично используя формулу (3.8'), получим
ло»
§ 3.5. Условные законы распределения составляющих двумерных дискретных и непрерывных случайных величии
1. Условные законы распределения составляющих двумерных дискретных случайных величин.
Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину ІХ, Y). Пусть возможные значения составляющих хь х2, ..., х„\ уи уь ..., ут.
Допустим, что в результате испытания величина К приняла значение Y= yt; при этом X примет одно из своих возможных значе-
86 ний: X! или х2, ..., или х„. Обозначим условную вероятность того, что X примет, например, значение х, при условии, что Y= через /?(Х||_Уі). В общем случае условные вероятности составляющей будем обозначать так:
р(х,\у,) (/'= 1, 2, ..., п\ j= 1, 2, ..., т).
Определение. Условным распределением составляющей X при Y= у\ называют совокупность условных вероятностей
/>(*,|}>|), />(х2Ы, ..., р(хя\уй*
вычисленных в предположении, что событие Y= у, уже наступило.
Так же определяются и условные распределения X при Y= у2, Y= Уз, ..., Y=ym.
Аналогично определяются условные распределения составляющей Y. Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно, воспользовавшись формулой P(AB)
