Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события Au A2, A3, A4, A5, A6 — соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.
Определение 3. Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. _
Событие, противоположное событию А, обозначают через А.
4 П р и м ер 4. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В— выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они_и появление одного из них исключает появление другого, т. е. A = B или A = B.
Определение 4. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Пример 5. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверное событие; событие В — вынут черный шар — невозможное событие.
Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.
Определение 5. Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Пример 6. Событие A6 — выпадение шести очков при бросании игральной кости — случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.
Пример 7. Событие A9s — прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста — случайное. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.
2. Алгебра событий.
Определение 1. Суммой событий А и В называется событие C = A +В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие C = A +В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.
Аналогично суммой конечного числа событий A,, A2, ..., Ak называется событие A = A1 +A1 +... + Ak, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A1 (і=1, ..., к).
Из определения 1 непосредственно следует, что A + B = B +А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А, как в алгебре).
Определение 2. Произведением событий AwB называется событие C = AB, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А\, A2, ..., Ak называется событие A = Ai A2... Ak, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
5 В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие C = AB, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.
Из определения 2 непосредственно следует, что AB = BA.
Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако AA = A (а не А2).
3. Классическое определение вероятности. Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов — результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.
Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.
Примеры полных групп событий — выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.
Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий Uu U2, ..., Un, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что
в этом испытании осуществление каждого из событий UO= 1, 2.....и)
равновозможно, т. е. условия испытания не создают преимуществ в появлении какого-либо события перед другими возможными.
Определение 2. События U1, U2, ..., Un, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называют элементарными событиями.
Пример 1. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть U1 — событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой і. Как уже отмечалось (п. 1, 3), события U, U2, ..., Ub образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события U, U2, ..., Ue являются и равновозможными, т. е. элементарными.
Определение 3. Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.
Пример 2. Пусть при бросании игральной кости события U2, Ui и U6- появление соответственно двух, четырех и шести очков, а А — событие, состоящее в появлении четного числа очков; события U2, Ui и U6 благоприятствуют событию А.
Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью P(A) события А называется отношение т/п числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е.
