Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
«Л/+ 2vN + wN = N,
Фенотип — внешнее проявление признака. „ - Об ЭТОМ законе И других приложениях теории вероятностей В биологии подробнее см., например, в [4].
27 то
u + 2v + w=\. (1.20)
Подсчитаем число генов А в популяции. Все особи доминантного генотипа имеют 2uN генов А (у каждой особи два гена А, и всех особей uN), особи смешанного генотипа имеют IvN генов А (у каждой особи один ген А, и всех особей IvN), у особей рецессивного генотипа генов А нет. Следовательно, в популяции число доминантных генов А равно:
2uN+2vN = 2N(u+v),
или, короче, 2Np, где
р = и+ V.
Число р имеет простой вероятностный смысл —это есть P(A), т. е. вероятность того, что выбранный наудачу ген доминантен. Действительно, доминантных генов 2Np, и всех генов 2N (у каждой особи популяции два гена). Следовательно,
P(A) = ^- = р. (1.21)
Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов а в популяции равно:
2 Nq,
где
q = w + v.
При этом число q имеет аналогичный вероятностный смысл:
PM-W'"-
Из вероятностного смысла чисел р и q, следует, что
p + q= 1.
(В этом можно убедиться и подстановкой значений р и q.) Заметим, что числа и, 2v и w тоже имеют простой вероятностный смысл (подсчет аналогичен проведенному выше подсчету для доминантных генов):
P(AA) = ^f = U, P(Aa) = Zf = 2w> P(aa) = ^f = w.
(P(AA) — вероятность того, что выбранная наудачу особь имеет генотип AA, аналогично P(Aa) и Р(аа).)
28 Теперь определим, какова будет структура потомства. Пусть потомство имеет структуру:
AA Aa аа и і 2v\ w,
(это понимается так же, как и при задании структуры популяции (1.19)). Подсчитаем и,, 2v, и w,. Числа и,, 2vi и w, есть вероятности того, что взятый наудачу потомок имеет соответственно генотип A4, Aa и аа (см. соответствующие формулы). Так как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность W1 может рассматриваться как вероятность следующего события' выбрали наудачу и независимым образом из всего запаса два гена А. Так как выбрать каждый ген А можно с вероятностью р (формула (1.21), то в силу теоремы умножения вероятностей независимых событий (§ 1.3, п. 2) интересующая нас вероятность равна р2, т е.
и, =P2.
Аналогично для w, получаем
W1 = q2.
Вероятность генотипа Aa в популяции потомков складывается из двух возможностей — либо ген А получен от отца, а ген а от матери, либо ген А получен от матери, а ген а от отца — соответствующие вероятности есть pq и qp. Следовательно, вероятность генотипа Aa в популяции потомков равна 2pq, т.е. 2v\=2pq. Отсюда
vi= pq.
Следовательно, структура потомства имеет следующий, вид:
AA Aa аа р2 2pq q2.
Самое замечательное состоит в том, что если для потомства взять щ+ v\ и W1 + Vi, как это делалось для родителей, то получим те же самые числа р и q. Действительно, согласно полученным формулам, имеем:
Ui + Vi =P2 +pq = p(p + q) =P, Wi + vi = q2 + pq = q(q + р) = q.
Так как структура потомства вычислена только с использованием этих сумм, то потомки популяции также будут иметь ту же струк-ryPV- При этом говорят, что рассчитанная структура стационарна, т- е- от поколения к поколению не меняется.
Этот замечательный факт, что со второго поколения устанавливается стационарная структура популяции, является непосредствен-
Ым обобщением второго закона Менделя и называется законом ларди.
29 На практике возможно отклонение, однако для больших популяций закон Харди остается в силе.
Для гороха вероятность получения белой особи равна q2 (рецессивный признак), вероятность получения красной особи равна 1 - q2 (как для противоположного события) и отношение числа красных и белых особей равно (l-^2):^2.
Для описанного в пункте 1 случая q = и мы опять получаем 3 : 1 (см. II закон Менделя).
Упражнения
1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачес венное. [0,0
2. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное число очков. [0,5]
3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. [0,81]
4. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
[0,1]
5. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей? [0,05]
6. В OKpV>KHOCTb вписан правильный треугольник. В круге наугад ставят точку. Какова вероятность того, что она попадет в треугольник?
[Зл/з/4л]
7. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?
[0,7]
8. Вероятность того, что человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04 Какова вероятность того, что человек все-таки не умрет на 71-м году?
