Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 88

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 153 >> Следующая


СЛЕДСТВИЕ 2. Если пространство H представления T содержит только один инвариантный вектор подгруппы Z, то T неприводимо.

доказательство. Всякое представление T группы g согласно теореме Вейля вполне приводимо. Значит, оно может быть приведено к блочно-диагональному виду (5.3.4) с неприводимыми представлениями Di, і = 2, ..., N. Повторяя конструкцию теоремы 2 для каждого блока Di, находим N инвариантных векторов подгруппы Z. Следовательно, в случае N= 1 T должно быть неприводимым.

Из равенства (19), разложения Гаусса и закона композиции для операторов Tg вытекает следующий полезный результат.

СЛЕДСТВИЕ 3. Пространство Hl (Z) неприводимого представления Tl натягивается на векторы

Ug(Z) = L6U0 = Llt (21)

где g пробегает G. Фактор Гаусса б элемента zg является непрерывной функцией Z и g. Эти функции удовлетворяют соотношению

^ б (z, g,gs) = ^6 (г. Ug1. gs)- (22)

Из равенств (7) и (21) следует, что если L — аналитическое (антианалитическое) представление, то представление Tg — также аналитическое (антианалитическое).

Следствия 2 и 3 дают следующую процедуру разложения приводимого представления T группы G.

1° В пространстве H представления находим максимальное подпространство H0, которое фиксировано относительно подгруппы Z. Конечномерные представления групп Jlu

257

2° В H0 выбираем нормированный базис и^liK Тогда пространство Я('> неприводимого представления Ti натягивается на векторы

и^ (z) = Teu^ =Lf U^ = Ll

Действие 7Ч'> в пространстве Я<г> задается формулой (7).

Следующее утверждение описывает структуру пространства Hl (Z) неприводимого представления Tl. Для простоты предположим, что Z — связная нильпотентная группа (это именно тот случай, который понадобится нам в дальнейшем).

утверждение 3. Пространство H1 (Z) неприводимого представления Tl (Z) состоит из функций и (z), которые являются полиномами матричных элементов Zpq элемента z ? Z.

Доказательство. В силу следствия 2 теоремы 1. і всякое представление п -+Tn разрешимой связной группы N = DZ может быть записано в треугольной форме. Следовательно, представления Tz коммутаторной подгруппы Z могут быть записаны в треугольной форме с L на главной диагонали. Это означает, что алгебра Ли А группы Z, порождаемая матрицами Xpq, р > q, отображается в алгебру нильпотентных матриц (т. е. для X ? А Xm = 0 при некотором целом т). Поэтому матричные элементы матриц Tz f=exp 1zpqXpq\ являются полиномами от матричных

^ p"q ' г, ^

элементов Zpq элемента z ? Z. С другой стороны, согласно (15) и (14), имеем

Єі (g) = Dll (g) = Du (kz) = Dls (k) Dsi (z) = LlDll (г) = Llel (z).

Поскольку отображение Hl (G) ->- Hl (Z) взаимно однозначно, пространство H (Z) натягивается на матричные элементы ег (г) представления Tz.

Следующее утверждение полезно при определении всех характеров б -+L6 группы D, которые индуктивны относительно G.

утверждение 4. Предположим, что разложение Гаусса для G индуцирует разложение Гаусса подгруппы Оо группы Cr:

Gu = Зо D0Z0,

где Зо. D и Z0 — пересечения G0 с подгруппами % D и Z группы G соответственно. Пусть L06o — ограничение характера L6 группы D на подгруппу D0. Если характер L индуктивен относительно G, то характер L0 индуктивен относительно подгруппы G0.

Доказательство. Поскольку характер L группы D индуктивен, линейная оболочка функций ug(z) = L~, б = б (z, g), со-

rv 258

Г лава 5

стоит из полиномов ОТ Zpq її, согласно утверждению 3, имеет конечную размерность. То же справедливо для функций

"йо(го) = Ч. g0), Z0 Є Z0, g-0 6 G0.

Ясно, что функции Ugo (Z0) непрерывны на Z0 X G0. Следовательно, в линейной оболочке H0 этих функций реализовано некоторое представление подгруппы G0. Вектор и0 (z0) = 1 является единственным вектором в H0, фиксированным для подгруппы Z0. Значит, ввиду следствия 3 представление подгруппы G0 в H0 неприводимо. Следовательно, характер L0 подгруппы D0 индуктивен.

Метод индуцированных представлений имеет ряд преимуществ по сравнению с инфинитезимальным методом Картана—Вейля. Он дает классификацию неприводимых представлений на языке старших весов, и в то же время он дает естественную реализацию пространства представления как линейного пространства Ht (Z) полиномов над стандартной подгруппой Z. Это весьма полезно при решении различных практических задач.

Рассмотрим теперь явное построение операторов Tg и пространства представления H1 (Z) для группы SL (2, С), накрывающей группы Лоренца SO (З, 1).

Пример 1. Пусть G = SL (2, С). Факторы Гаусса 3. D и Z в этом случае задаются в виде [см. (3.6.3) ]

ё ,']}• -([6O106])- 2-{[*?]}'

Га ?l

где С» б и г принадлежат С1. Если g = J^ ^J ? SL (2, С), то множители б и элемента g = zg = ?6г~ имеют вид

u ^1 ' ? ?z + o

Произвольный комплексный аналитический характер группы D, согласно (13), задается при помощи

6-.L6 = 6m, (23)

где т — целое число, которое будет определено ниже. Согласно теореме 2 и равенству (7), всякое неприводимое представление g —>¦ Tg, индуцированное одномерным представлением (23) группы D, действует по формуле
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed