Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
LA (ggo) = Ll1LkL^guiz-) = L1U (z~).
(9)
Отсюда вытекает равенство (7).
Замечание. Строго говоря, векторы и (z), так же как и представление в Hl (Z), следовало бы обозначать различными символами, скажем, и (z) и Tg. Для простоты мы использовали один и тот же символ, так как недоразумение здесь исключено.
Следует также подчеркнуть, что представление Tl в Hl (Z) может быть приводимым и бесконечномерным. Будем обозначать неприводимое подпространство в Hl (Z), содержащее функцию u0(z) = 1, через Hl(Z). Для простоты ограничение представления Tl на Hl (Z) будем обозначать также символом Tl.
Равенство (7) означает далее, что
Тг0и (z) = и (zzo) для всех Z0 ? Z. Те u (z) = Leu (6~'z6) для всех б ? L>.
(Ю)
(H)
Ясно, что одномерные представления L подгруппы D (а значит, и подгруппы К) задаются характерами. Если
0
6,
D^b-
б,- Ф 0,
(12)254
Г лава 5
то наиболее общий комплексно-аналитический характер б Lf
имеет вид
L6 = oW . . . б?, (13)
где Ini, і = 1,...,п, — целые числа. Наиболее общий комплексно-антианалитический характер имеет "вид
L6=W1W' ...С1,
где Hii — целые числа.
О характере L, который определяет индуцированное неприводимое конечномерное представление Tl группы G, говорят, что он индуктивен относительно группы G. Ниже мы докажем, что только некоторые характеры L подгруппы D могут быть индуктивными относительно G.
Следующая теорема устанавливает основной результат в теории конечномерных представлений групп Ли.
ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа Ли, допускающая разложение Гаусса G = 3DZ. Тогда всякое неприводимое конечномерное представление группы G является представлением Tl, индуцированным в пространстве Hl при помощи однозначно определенного характера б -> L6 подгруппы D. Два неприводимых представления T'-i и Tl* эквивалентны тогда и только тогда, когда L1 = L2.
Доказательство. Пусть T — неприводимое представление G, и пусть Tk обозначает его сужение на разрешимую связную подгруппу /С = 3D. Из следствия 2 теоремы Ли мы знаем, что все операторы Tk, k ? К, могут быть одновременно приведены к треугольному виду, т. е.
Tb
'L1k
Ll
о
Lrk
(14)
где k -* Lk — характеры группы К. Далее, всякий характер группы К тривиален на коммутаторной группе 3 из /(. Следовательно,
Lk = Ll б — lf.
Фактически Ltk является характером группы D. Пространство H неприводимого представления T может быть натянуто на векторы
(g) = dil(s), (15)Конечномерные представления групп Jlu
255
где Dji (g) — матричные элементы представления Tg [см. соотношения (1)]. В силу (14) мы имеем
et (kg) = Dh (k) Dsi (g) = Llei (g).
Поэтому всякий элемент и (g) из Hl является непрерывной функцией на G, удовлетворяющей условию
и (kg) = LiU (g).
Таким образом, условия 1° и 2° в (2) выполнены. Следовательно, T может быть реализовано как представление T'-" группы G, индуцированное одномерным представлением k -* L\ подгруппы /С. Действие представления T1g в пространстве задается правым сдвигом (3), а в пространстве Hl (Z) — по формуле (7).
Применяя следствие 1 теоремы Ли для разрешимой подгруппы N = DZt заключаем, что пространство Ht (Z) содержит общий для всех операторов Tnt п ? N, собственный вектор и0 (г). Ясно, что этот вектор инвариантен относительно действия коммутаторной группы ZaNtT. е. TZoti0 (г) = Lill (г) для всех Z0 из Z. Так как, согласно (10), подгруппа Z действует в Hl (Z) как правый сдвиг, фиксированный собственный для всех Tz вектор может быть только константой, т. е. U0 (г) = 1. Отсюда вытекает, что Hl совпадает с Hl (Z), и в силу равенства (11) мы получаем
Tl1U0 (г) = Llu0 (г). (16)
Следовательно, индуктивный характер L1 однозначно определен.
Если L1 = L21 то, очевидно, Tl1 и T1<2 эквивалентны. Обратно, если Tl1 и Tl-2 эквивалентны, то существует оператор V, такой, что VTuV-1 = Tl2 и H2 = VH1. Следовательно, ввиду (16) получаем VTb1V'1 (1'?,) (г) = L1tl (Vuo) (z); это влечет равенство L1 = L2.
Последняя часть доказательства дает следующий важный результат.
следствие 1. в пространстве Hl всякого неприводимого конечномерного представления группы G существует один и только один (с точностью до нормировки) инвариантный вектор и0 (z) подгруппы Z, т. е.
TzUo = Uo для всех г ? Z. (17)
Этот инвариантный вектор удовлетворяет, кроме того, условию
Ть Uo = Lbti0 для всех 6 ? D (18)
и может быть собственно нормализован, так что
Uu(Z)=I. (19)256
Г лава 5
Характер б -» L6 называют целочисленным старшим весом неприводимого представления Tt. Поскольку Tl = exp ^Jj Hka/^ ,
где Hk — генераторы представления подгруппы D, а ап — параметры в алгебре Ли группы D, мы можем перейти к инфините-зимальным преобразованиям и с помощью равенств (18) и (13) получить
HkU0 = HillU0, к = \, 2, . . ., п. (20)
Вектор т = (тг, т2, ..., тп) называется старшим весом представления Tl, а вектор U0 — старшим вектором. Согласно теореме 2, т определяется однозначно и в свою очередь задает неприводимое представление Tl. Старший вектор и0, соответствующий т, будем обозначать также через ит.