Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 87

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 153 >> Следующая


LA (ggo) = Ll1LkL^guiz-) = L1U (z~).

(9)

Отсюда вытекает равенство (7).

Замечание. Строго говоря, векторы и (z), так же как и представление в Hl (Z), следовало бы обозначать различными символами, скажем, и (z) и Tg. Для простоты мы использовали один и тот же символ, так как недоразумение здесь исключено.

Следует также подчеркнуть, что представление Tl в Hl (Z) может быть приводимым и бесконечномерным. Будем обозначать неприводимое подпространство в Hl (Z), содержащее функцию u0(z) = 1, через Hl(Z). Для простоты ограничение представления Tl на Hl (Z) будем обозначать также символом Tl.

Равенство (7) означает далее, что

Тг0и (z) = и (zzo) для всех Z0 ? Z. Те u (z) = Leu (6~'z6) для всех б ? L>.

(Ю)

(H)

Ясно, что одномерные представления L подгруппы D (а значит, и подгруппы К) задаются характерами. Если

0

6,

D^b-

б,- Ф 0,

(12) 254

Г лава 5

то наиболее общий комплексно-аналитический характер б Lf

имеет вид

L6 = oW . . . б?, (13)

где Ini, і = 1,...,п, — целые числа. Наиболее общий комплексно-антианалитический характер имеет "вид

L6=W1W' ...С1,

где Hii — целые числа.

О характере L, который определяет индуцированное неприводимое конечномерное представление Tl группы G, говорят, что он индуктивен относительно группы G. Ниже мы докажем, что только некоторые характеры L подгруппы D могут быть индуктивными относительно G.

Следующая теорема устанавливает основной результат в теории конечномерных представлений групп Ли.

ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа Ли, допускающая разложение Гаусса G = 3DZ. Тогда всякое неприводимое конечномерное представление группы G является представлением Tl, индуцированным в пространстве Hl при помощи однозначно определенного характера б -> L6 подгруппы D. Два неприводимых представления T'-i и Tl* эквивалентны тогда и только тогда, когда L1 = L2.

Доказательство. Пусть T — неприводимое представление G, и пусть Tk обозначает его сужение на разрешимую связную подгруппу /С = 3D. Из следствия 2 теоремы Ли мы знаем, что все операторы Tk, k ? К, могут быть одновременно приведены к треугольному виду, т. е.

Tb

'L1k

Ll

о

Lrk

(14)

где k -* Lk — характеры группы К. Далее, всякий характер группы К тривиален на коммутаторной группе 3 из /(. Следовательно,

Lk = Ll б — lf.

Фактически Ltk является характером группы D. Пространство H неприводимого представления T может быть натянуто на векторы

(g) = dil(s), (15) Конечномерные представления групп Jlu

255

где Dji (g) — матричные элементы представления Tg [см. соотношения (1)]. В силу (14) мы имеем

et (kg) = Dh (k) Dsi (g) = Llei (g).

Поэтому всякий элемент и (g) из Hl является непрерывной функцией на G, удовлетворяющей условию

и (kg) = LiU (g).

Таким образом, условия 1° и 2° в (2) выполнены. Следовательно, T может быть реализовано как представление T'-" группы G, индуцированное одномерным представлением k -* L\ подгруппы /С. Действие представления T1g в пространстве задается правым сдвигом (3), а в пространстве Hl (Z) — по формуле (7).

Применяя следствие 1 теоремы Ли для разрешимой подгруппы N = DZt заключаем, что пространство Ht (Z) содержит общий для всех операторов Tnt п ? N, собственный вектор и0 (г). Ясно, что этот вектор инвариантен относительно действия коммутаторной группы ZaNtT. е. TZoti0 (г) = Lill (г) для всех Z0 из Z. Так как, согласно (10), подгруппа Z действует в Hl (Z) как правый сдвиг, фиксированный собственный для всех Tz вектор может быть только константой, т. е. U0 (г) = 1. Отсюда вытекает, что Hl совпадает с Hl (Z), и в силу равенства (11) мы получаем

Tl1U0 (г) = Llu0 (г). (16)

Следовательно, индуктивный характер L1 однозначно определен.

Если L1 = L21 то, очевидно, Tl1 и T1<2 эквивалентны. Обратно, если Tl1 и Tl-2 эквивалентны, то существует оператор V, такой, что VTuV-1 = Tl2 и H2 = VH1. Следовательно, ввиду (16) получаем VTb1V'1 (1'?,) (г) = L1tl (Vuo) (z); это влечет равенство L1 = L2.

Последняя часть доказательства дает следующий важный результат.

следствие 1. в пространстве Hl всякого неприводимого конечномерного представления группы G существует один и только один (с точностью до нормировки) инвариантный вектор и0 (z) подгруппы Z, т. е.

TzUo = Uo для всех г ? Z. (17)

Этот инвариантный вектор удовлетворяет, кроме того, условию

Ть Uo = Lbti0 для всех 6 ? D (18)

и может быть собственно нормализован, так что

Uu(Z)=I. (19) 256

Г лава 5

Характер б -» L6 называют целочисленным старшим весом неприводимого представления Tt. Поскольку Tl = exp ^Jj Hka/^ ,

где Hk — генераторы представления подгруппы D, а ап — параметры в алгебре Ли группы D, мы можем перейти к инфините-зимальным преобразованиям и с помощью равенств (18) и (13) получить

HkU0 = HillU0, к = \, 2, . . ., п. (20)

Вектор т = (тг, т2, ..., тп) называется старшим весом представления Tl, а вектор U0 — старшим вектором. Согласно теореме 2, т определяется однозначно и в свою очередь задает неприводимое представление Tl. Старший вектор и0, соответствующий т, будем обозначать также через ит.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed