Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема Вейля фактически утверждает, что всякое представление полупростой группы Ли G построено из неприводимых представлений. Следовательно, задача классификации конечномерных представлений полупростых групп Ли сводится к задаче классификации всех неприводимых представлений. Эту задачу мы решаем в § 3, 4 и 5.
Обобщение теоремы Вейля на произвольные связные группы Ли дано в § 7 настоящей главы.
§ 2. Индуцированные представления групп Ли
Как видно из утверждения 7.1.6, каждое конечномерное неприводимое представление компактной группы входит в регулярное представление. Покажем теперь, что всякое непрерывное неприводимое представление g -> Tg произвольной топологиче- Конечномерные представления групп Jlu
251
ской группы G может быть вложено в регулярное представление, реализованное в пространстве С (G). Действительно, пусть H —
пространство представления Т, и пусть H — сопряженное пространство. Возьмем фиксированный элемент Off^ H и положим
L(S) = (TeUtV), и?Н. Множество полученных таким образом функций образует линейное подпространство H а С (G). Отображение V: H -> H является взаимно однозначным, так как прообраз нуля пространства H является инвариантным подпространством, которое не может отличаться от нуля, поскольку H неприводимо. При отображении V функция fu (ggo) соответствует вектору Tgji, т. е. G представлена в H посредством правых сдвигов Tgo. В пространстве H можно выбрать базис, состоящий из функций
4(g) = DilIg), t=l, 2, . . ., dim//, (1)
где Dij (g) — матричные элементы представлення Tf,. Тогда
TgA (g) - ¦ Ci (ggo) - Dll (ggo) = Dlh (g) Dui (go) - Dki (g0) ек (g).
Таким образом, пространство Н, натянутое на непрерывные функции Ci (g). і - - 1, 2, ..., dim Н, на группе G, может быть взято в качестве пространства заданного неприводимого представления g-> Tg группы G.
Изложим теперь основанный на обобщении этой идеи метод построения индуцированных конечномерных представлений комплексных классических групп Ли. Начнем с построения пространства представления.
Представления группы G, индуцированныех) представлением L подгруппы К
Пусть К — замкнутая подгруппа в G, и пусть k ->¦ Lh — конечномерное представление К в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим линейное пространство Hl функций и с областью определения в G, множеством значений в Н, удовлетворяющих следующим условиям:
1° Скалярное произведение (и (g), v)H непрерывно
в G при произвольном V ? Н. (2)
2° и (kg) — Lku (g) для всех k ? К-Определим
Tg0U (g) = и (ggu). (3)
J) Индуцированные представления, в особенности бесконечномерные, более подробно рассматриваются в гл. 16. 252
Г/іава в
Функция и (gg0) удовлетворяет условиям Г и 2° и поэтому принадлежит Hl. Кроме того, имеем
(T1eJtu) (g) = и (ggig2) -= T1glg2U (g).
Следовательно,
1 е J g г —Teigi п Tc = L
В силу условия (2) Iе отображение g Tg непрерывно. Значит, отображение g -*¦ Tg задает непрерывное, вообще говоря, бесконечномерное представление группы G.
Отображение g —у T1g называется представлением группы G, индуцированным представлением L подгруппы К.
Реализация индуцированного представления g -* Tg группы G при помощи правого регулярного представления стирает индивидуальность данного представления. В связи с этим дадим другую реализацию Tl в линейном пространстве Hl (Z) функций в Z = K\G.
Пусть G — классическая группа Ли, допускающая разложение Гаусса вида
G = 3 DZ, (4)
где D — абелева замкнутая подгруппа в G, 3^ и DZ — разрешимые связные подгруппы в G, коммутаторными подгруппами которых являются BhZ соответственно, и
3[)DZ= {е}, DRZ=H.
Пусть К — 8D, и пусть k —> Lk — одномерное представление К- Поскольку 3 — коммутаторная подгруппа в К, представление k -> Lk тривиально на 3, т. е. L^ = /. Следовательно, отображение
= (5)
задает фактически одномерное представление подгруппы D. Если Hl — пространство функций, удовлетворяющих условиям (2) с L6, заданным согласно (5), то из соотношений (4) и (5) следует, что для ti (g) ? Hl мы имеем
и (g) = и Сфг) = L10H (г) = L6U (z), z?Z. (6)
Поскольку L6 фиксировано, мы можем заменить каждую функцию и (g) ? Hl ее контракцией и (г), заданной на области Z, и рассмотреть вместо линейного пространства Hl на G соответствующее линейное пространство Hl (Z) функций с областью определения Z. Отображение Hl -> Hl (Z) взаимно однозначно. Действительно, прообраз нуля в Hl (Z) есть нуль в Hl. И если и (г) = Конечномерные представления групп Jlu
253
О, то ti (g) = 0 для регулярной точки g из G, которая допускает разложение g • - кг. С другой стороны, и (g) непрерывна, a ^DZ плотно в G. Следовательно, и {g) = 0. Найдем теперь представление g —> Tg в этой реализации пространства представления.
ЛЕММА 1. Действие операторов Tg в пространстве Hl (Z) задается формулой
7і.и (z) =Lgu(z5),
(7)
где Ь и z~ определяются из разложения Гаусса элемента g
Ч
Доказательство. Записывая gg0 = Iizgu
кф
(8)
получаем из соотношений (6) и (5), что вектор Tg0U (г) в Hl (Z), соответствующий сектору (Tgou) (g) = и (ggo) в Hl, имеет вид
