Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1 (Ли). Всякое конечномерное неприводимое представление связной топологической разрешимой группы N одномерно.
доказательство. Доказываем теорему по индукции. Если N имеет высоту единица (т. е. N абелева), то утверждение теоремы следует из леммы Шура 5.3.5. Предположим, что N имеет высоту р и теорема доказана для групп высоты р — 1. Пусть п Tn — конечномерное неприводимое представление N в векторном пространстве Н. Подгруппа Z = Q(N) имеет высоту р — 1. Значит, представление Z-^Tz подгруппы Z = Q (N) содержит одномерное представление группы Z. Следовательно, мы можем найти комплексный характер z -»- у (г) и ненулевой вектор и% в Ii, такие, что
TzIh - У. (?) "х (1)
да я каждого z в Z. Обозначим через Ф множество характеров % группы Z, таких, что (1) имеет ненулевое решение и% в Ii. Ясно, что Ф — конечное множество. Поскольку Z инвариантна в N, мы можем для всякого характера у группы Z и всякого n ? N определить новый характер %„, заданный формулой
Xn (г) = x (я" 1гп). (2)
Равенство (1) предполагает, что
TzTnUx = TnTnlTzTnUx = In (г) Тпиг. (3)
Следовательно, у ? Ф влечет у„ ? Ф для всякого п ? N. Введем теперь следующую топологию в Ф: у -V у/, если у (г) %' (г) для всякого z. В этой топологии Ф является дискретным пространством. Непрерывность группового умножения означает, что для 246
Г лава 5
заданного "/ характер '/„ зависит непрерывно от п ? JV. С другой стороны, связность группы N означает, что для каждого х из Ф множество всех Xn связно. Поскольку это множество также конечно, мы получаем, что ум — % для всякого у Ф и всякого п ? N. Таким образом, заключаем, что если % ? Ф, то на векторы и%, удовлетворяющие равенству (1), натягивается подпространство в Н, инвариантное относительно Tn. Так как H неприводимо относительно T11, заключаем, что для всякого г f Z
Tz = X(Z)-I. (4)
Иногда Ф содержит только один характер подгруппы Z.
Пусть п0 — произвольный элемент из N, и пусть с — любой корень полинома х -> det (Tflo — xl). Поскольку Ttlo не вырождено, с не может быть нулем. Значит, в H существует ненулевой и0, такой, что
TnllUo = Ciiil. (5)
Поскольку /угп-'/г1 f Z, равенство (4) означает, что
TnJn - X [Iiam1If1) TnTlh,.
Отсюда и из (5) получаем
Tn0TnIio = с% (тдп^п'1) TnIitl-
Значит, для всякого п ? N TnIi0 является собственным вектором для Ttllj. Соответствующее собственное значение с-X (ПоПП'о'1Г') непрерывно зависит от п и имеет лишь конечное число возможных значений. Следовательно, связность N означает, что % не зависит от п. Полагая а = по, получаем % (поппоЧг'1) = 1. Таким образом,
TnoTnIio = сТпи0.
Поэтому линейное подпространство \ио Є Я; TtlaU0 = сио\ инвариантно по отношению ко всем Tn. Следовательно, оно должно совпадать с Н. Это, в свою очередь, ввиду леммы Шура означает, что Tllo сводится к скаляру с/ для всякого п0 ? N. Следовательно, в силу неприводимости Ttlo получаем утверждение теоремы Ли.
СЛЕДСТВИЕ 1. В любом пространстве представления связной разрешимой группы N существует ненулевой вектор и ненулевая непрерывная мультипликативная функиия % (п), такие, что
TnUx = % (п) U7 для всех п ? N.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства достаточно выделить неприводимое подпространство и применить теорему Ли. Конечномерные представления групп Jlu
247
СЛЕДСТВИЕ 2. Всякое представление связной группы N можно свести к треугольному виду
"Xі (п) О
Х2(п)
T
* п
XN («)_
разрешимой
(6)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование собственного вектора для всех Tn эквивалентно приводимости матриц Tn, т. е.
О
п "
Матрицы Tn снова образуют представление группы N. Таким образом, последовательное применение этой (J)Ojiмы дает (6).
Заметим, что многие важные группы из рассматриваемых в физике разрешимы; например, группа Пуанкаре П2 = T*1- х) x)SO (1, 1) в двумерном пространстве-времени и группа Гей-зенберга, ассоциированная с коммутационными соотношениями
[X, Y] = Z, \Х, Z] О, [Y, Zj = О (или [а, а*\ = 1),
являются разрешимыми группами высоты 2. Действительно, например, групповое умножение в П2 означает, что Qi (П2) = = Ta- Q2 (П2) = {е}. Поскольку эти группы связны, из теоремы Ли имеем
СЛЕДСТВИЕ 3. Всякое конечномерное неприводимое представление группы Пуанкаре П2 и группы Гейзенберга одномерно.
Таким образом, группы движения одно- и двумерного пространства-времени Минковского и евклидова пространства-времени должны быть разрешимыми.
Б. Теория представлений полупростых групп Jlu
Связная простая группа Ли имеет только тривиальное одномерное представление g —>-1. Действительно, связная простая группа может иметь лишь два типа инвариантных подгрупп: Gi — дискретный центр группы G (или его подгруппу) и G2 = G. Если гомоморфизм g Tg имеет в качестве ядра Gi, то Tg является точным представлением для GIGi. Следовательно, оно не может быть одномерным, поскольку GZGi некоммутативна: если ядром является G2, то Tg — тождественное представление. 248
Г лава 5
Поскольку полупростые связные группы JIii являются прямыми произведениями инвариантных простых связных подгрупп, эти группы также имеют только тривиальное одномерное представление.
