Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
X1 ^F1 (mod W), т. е. X1==F1^fn1, X2^ F2 (mod Ar), т. е. X2 = F2 fn2,
[X1, X2] = [F1, F2] + [F1, n2] + [пъ F2] + [я,, я2]. (22)
Поэтому в общем случае соотношение
[X1, X2] ^ [Y1, F2HmodiV) (22а)
не выполняется. Однако если подалгебра N, кроме того, является идеалом, то последние три члена в (22) содержатся в Af и условие (22а) удовлетворяется. Полученная алгебра Ли называется фактор-алгеброй JIu алгебры L по отношению к N я обозначается LJN.
Пример 3. Пусть P — алгебра Пуанкаре с коммутационными соотношениями
[Aflivt Alp0] = gupMvo + ByoMviр - gvpMllo - gnuM-
VP.
Ainv= -Mvn,
(23a)
[ Mliv, Po] = gv<A - BucPv, (236)
[P?, Py 1 = 0, (23b)
где (.1, v, ... = 0, 1, 2, 3, goo - — gii = —g22 -- —?зз = 1 и Bliv 0 для p + v. Алгебры Jlu
21
Множество t4 линейных комбинаций P4, v = 0, 1, 2, 3 (генераторов трансляций), является идеалом в Р. Если ввести отношение эквивалентности
X =^Y (mod /4), X, Y?P,
то множество классов Kx = X + X (- P1 эквивалентных элементов образует шестимерную (фактор-) алгебру Ли, изоморфную алгебре Лоренца so (З, 1) с генераторами Mixv из (23а). С другой стороны, отношение эквивалентности
X F (mod so (3, 1)), X,Y?P, определяет четырехмерное векторное фактор-пространство (но не фактор-алгебру Ли).
Б. Операции над алгебрами Ли
Рассмотрим теперь свойства различных операций, определенных над алгебрами Ли. Пусть LhL' — две произвольные алгебры Ли над множеством вещественных или комплексных чисел, и пусть <р — отображение L в L'. Отображение ф называется гомоморфизмом, если
Ф (аХ f ?F) = оф (X) + рФ (Y), X, Ye L1 а, ? ? К, (24а) ф([Х, К]) = [ф(Х), ф(Г)], X1Y^L. (246)
Множество
N = {X GL^(X) = Of называется ядром гомоморфизма ф. Оно есть идеал в L. Действительно, если X ? L и Y ^ N, то
Ф(1Х, Г]) = [Ф(Х), О] = О,
т. е. IX, К] ^ JV. Нетрудно проверить, что LIN изоморфно ф (L). Пусть N — идеал в алгебре Ли L. Отображение
ф: X-X+ N
называется естественным гомоморфизмом L на LIN. Взаимно однозначный гомоморфизм одной алгебры на другую называется изоморфизмом, а соответствующие алгебры L и L' — изоморфными: в этом случае будем писать L — L'. Изоморфное отображение L на себя называется автоморфизмом. Автоморфизм ф алгебры Ли L называется инволютивным, если ф2 = I.
Отображение о комплексной алгебры Ли в себя, удовлетворяющее условиям
о (^X + pF) = ко (X) -f (То (Y), о (IX, Fj) =
= [o(X),o(F)], о2 = /, (25)
называется сопряжением. Например, если L0 — комплексное расширение вещественной алгебры Ли L1 то отображение
о: X \-iY — X-\Y, X, Y?L, .<22
Глава 1
задает сопряжение в Lc. Заметим, что сопряжение о не является автоморфизмом в L, так как оно антилинейно.
Дифференцирование D алгебры Ли L — это линейное отображение L в себя, удовлетворяющее
D (IX, F]) = [D(X), F] + [X, D(F)], X, F^L. (26)
Очевидно, что если D1 и D2 — два дифференцирования в L, то CiD1 - і ¦ ?D2 также является дифференцированием. Более того, если D1 и D2 — дифференцирования, то
DMlXt FD = D1UD2X, Y] +[X, D2F]} =
= ID1D2X, F] +ID3X1 D1Y]+ [D1X, D2F] + IX, D1D2F].
Меняя местами индексы 1 и 2 и вычитая, получаем
[D1, D2]([X, F]) = [[D1, D2] X, Y] +IX, [D1, D2] Y], (27)
т. е. коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием. Поэтому множество La всех дифференцирований самообразует алгебру Ли, алгебру дифференцирований La. Интересно заметить, что алгебра La является алгеброй Ли группы всех автоморфизмов Ga исходной алгебры L. В самом деле, если ц>( = =- exp (JiAt) — однопараметрическая группа автоморфизмов L, т. е.
<Р/«Х, *1) = 1<Г/(Х), <Pt(Y)]?l<. X,Y?L, (28)
то дифференцирование по t дает при / = O
А ([X, F]) = [АХ, Y] + [X, AY],
т. е. генератор А однопараметрической подгруппы ер (і) автоморфизмов является дифференцированием. Обратно, можно также показать, что если А удовлетворяет равенству (26), то соответствующая однопараметрическая подгруппа удовлетворяет (28) (см. упражнение 1.8).
Пусть L — алгебра Ли над вещественными числами R или комплексными числами С. Рассмотрим линейное отображение ad X алгебры L в себя, определенное при помощи
ad X (F) ее [X, Y], X,Y?L. (29)
Воспользовавшись тождеством Якоби (3), получаем
ad X ([F, Z]) = [ad X (F), Z] + [F, ad X (Z)], (ЗО)
т. е. отображение ad X является дифференцированием L. Более того, используя (29) и тождество Якоби, мы получаем
ad IX, F] (Z) = [adX, ad F] (Z). (ЗІ)
J) В более ранних публикациях называемое также шфинитезимальным автоморфизмом алгебры L. Алгебры Jlu
23
Таким образом, множество La = {ad X, X ? Lj является линейной алгеброй Ли, подалгеброй алгебры Ли La всех дифференцирований, и называется присоединенной алгеброй. Отображение : X —> ad X есть гомоморфизм алгебры L на La. Понятно, что ядро гомоморфизма і); является центром в L.
Более того, алгебра Ли La является идеалом алгебры Ли La всех дифференцирований. В самом деле, при D ? La и F ? L мы имеем
[D, ad X] (F) = D [X, Y\ - [X, DY] = [DX, Y] = ad DX (Y), (32) т. е.
