Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
[gl (л, R), N] = 0.
Следовательно, N является одномерной подалгеброй, содержащейся в центре алгебры gl (л, R).
В gl («, R) можно ввести так называемый базис Вейля, выбирая в качестве базисных элементов eijt i, j - 1, 2, ..., л, п X п-матрицы вида
(Єіi)Ik = б; fi?, (1!)
которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
\еи, ек1\ = Sjteu — baekj, і, j, к, I = 1, 2.....п. (1 ) .<18
Глава 1
Из (11) и (12) можно немедленно получить структурные константы:
Csm, kr = 6s6mfe6r — S'kSrs&m- (ІЗ)
Базисные векторы eik подалгебры о (п) могут быть выбраны в виде eik = elk — eki, і, k= 1, 2, . . ., п. (14)
Комплексным расширением Ve вещественного векторного пространства V является комплексное векторное пространство, состоящее из всех элементов Z вида Z = X + \у, х, у ? V. Умножение элемента z ? Vc на комплексное число у == а |- i? ? С определяется по формуле
yz ах — \]у -f і (ay | (iv).
Комплексное расширение Lc вещественной алгебры Ли L — это комплексная алгебра Ли, удовлетворяющая следующим условиям:
1) Lc является комплексным расширением вещественного векторного пространства L;
2) умножением Ли в L0 является
Z = [Zu Z21 = [X1 + ІГ„ X2 f іY2] -= = [X1, X2] - IF1. F2] -J і [X1, F2] + і [F1, X2] = X+ \Y. (15)
Комплексную алгебру Ли L размерности п с базисом {е^1,1 можно также рассматривать как вещественную алгебру Ли размерности 2п с базисными векторами еи \еи ..., сп, \еп. Определенную таким образом вещественную алгебру Ли будем обозначать символом Lr. И наоборот, вещественная форма Lr комплексной алгебры Ли L0 — это вещественная алгебра Ли, комплексным расширением которой является Lc.
Алгебры An, Bn, Cn и Dn
Комплексным расширением алгебры gl (п, R) является множество всех комплексных п X /г-матриц с умножением Ли (10). Оно называется полной комплексной линейной алгеброй JIu и обозначается gl (п, С). Подмножество всех комплексных п X /г-матриц с нулевым следом является подалгеброй в gl (п, С) и обозначается si (п, С) или A^1.
Другие последовательности комплексных алгебр связываются с различными билинейными формами. Пусть Ф (?, і]) — билинейная форма, определенная в m-мерном комплексном векторном пространстве Vm. Линейные преобразования X, действующие в Vm и удовлетворяющие условию
Ф(Х1, г)) ]-Ф(?, Xr,) = 0, I, TiGVrm, Алгебры Jlu
19
генерируют линейную алгебру Ли L. Действительно, если последнее соотношение справедливо для X и F, то Ф([Х, Y] It іі) = Ф(ХК?, г])-ф(КХ|, i|) == —Ф(?, |Х, FJi1),
где умножение Ли для XhF определено в виде [X, F] = XF — — FX.
Если билинейная форма Ф (?, г]) невырождена г) и симметрическая (например, Ф = |/Г],), то L называется ортогональной алгеброй JIu. При т = 2п + 1, п = 1, 2, ..., последовательность соответствующих алгебр обозначается о (2л +1, С) или Bn, а при т = 2п — обозначается о (2п, С) или Dn.
Алгебры, связанные с невырожденными кососимметрическими билинейными формами, называются симплектическими алгебрами Ли. Из элементарной алгебры известно, что кососимметрические формы в нечетномерных пространствах всегда вырождены (det — = 0). Поэтому симплектические алгебры могут быть реализованы только в четномерных комплексных пространствах V2n и обозначаются sp (п, С) или C11.
Алгебры Ani Bn, Cn и Dn, п 1,2.....образуют совокупность
классических комплексных алгебр Ли.
Прямые суммы алгебр и фактор-алгебры
Пусть Vi, і' = 1, 2, ..., k, — подпространства векторного пространства V, и пусть
D==Z1Vi (16)
1=1
есть совокупность всех векторов вида k
<l = ?u„ Vi^vi, i=\,2,...,k. (17)
1=1
Если каждый вектор d ? D единственным образом представляется в виде (17), то мы говорим, что D является прямой суммой подпространств V1, і = 1, 2, ..., k, и записываем
D = V1 + ^ + . . .-f Vk = Z + Vi. (18)
I=I
Если алгебру Ли L как векторное пространство можно записать
через прямую сумму в виде (18), т. е. L = Li + Ls + ... + Lk, и, кроме того, если
[Li, L1-JczL1, [L1-, LyJ = O1 i, /= 1, 2, . . ., k, (19)
Билинейная форма Ф (6, V) невырождена, если для всякого J0 Є V'"1 линейная форма Ф (?0, г)) не равна тождественно нулю по rj. В координатной форме
(J' (Ii ri) = ^'а,-.і]' невырождеиа тогда и только тогда, когда ее матрица [а,-;] невырождена, г. е. (let Cilj ф 0. .<20
Глава 1
то об L говорят, что она разлагается в прямую сумму алгебр Ли Li, Li, ..., Lk и обозначают ее L = Li © Li © ... 0 Lk.
Ясно, что подалгебры Li, і = 1, 2, ..., k, — идеалы в L, поскольку
IL1 Li] = [Li, L1] a L1. (20)
Более того, если N — идеал в подалгебре Li, то N также идеал в алгебре L.
Пусть N — подалгебра некоторой алгебры Ли L. Введем в пространстве L отношение
X ^ У (mod N) (21)
при X — Y ? N, т. е. вектор X является суммой вектора Y и вектора п из N. Это отношение удовлетворяет свойствам
JO _
2° если х'^ Y, то Y ^ X, 3° если X Y, a Y Z, то X Z и, следовательно, является отношением эквивалентности. Вся алгебра L разлагается в непересекающиеся классы Kx ~ X Ч N эквивалентных элементов. Множество |/Сд} всех классов в общем случае не образует алгебры Ли: в самом деле, если
