Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Символы [ -^- п | и [ п I означают следующее:
Всюду, где это не оговорено особо, используется правило суммирования Эйнштейна.
-g- (п — 1), если я = 2г 4- 1;
если п = 2г, Глава 1 Алгебры Ли
Из дидактических соображений мы предпочитаем начать с рассмотрения алгебр Ли, прежде чем перейти к топологическим понятиям и группам Ли. Теория алгебр Ли стала самостоятельным разделом математики.
§ 1. Основные понятия и общие свойства
А. Алгебры JIu
Пусть L — конечномерное векторное пространство над полем К вещественных или комплексных чисел. Векторное пространство L называется алгеброй JIu над К, если в L задано правило композиции (X, У) —* [X, У], удовлетворяющее следующим аксиомам:
[ctX -I ?)', Z] = ct[X, ZJ+ ? [У, ZJ для et, f>?K (линейность),
(1)
[X, У} =— [У, Xj для всех X, Y ? I. (антисимметричность),
(2)
ix, IУ, Z]]+ [У, iz, X]]+ iz, [X, У]] = 0 для всех X,Y,Z?L.
(3)
Третья аксиома является тождеством Якоби (или ассоциативностью Якоби). Операция [ , ] называется умножением JIu. Из аксиомы (3) следует, что это умножение Ли, вообще говоря, неассоциативно. Если К — поле вещественных (комплексных) чисел, то L называется вещественной (комплексной) алгеброй JIu. Алгебру Ли называют абелевой, или коммутативной, если [X, FJ = O для любых X, У ? L.
Рассмотрим два подмножества M и N векторов из алгебры Ли L и обозначим через [М, N\ линейную оболочку всех векторов вида [X, У], X ? М, Y ? N. Если M и N — линейные подпространства алгебры Ли, то имеют место следующие соотношения:
[M1 + M2, N] a [M1, WJ + [M2, N], (4а)
[M,N] = [N,M], (46)
[L, \М, AfJJ cz [Al, [N, LD-I- [/V, [L, M]]. (4в) .<16
Глава 1
Эти соотношения легко могут быть проверены с помощью аксиом (1)—(3). Подпространство N алгебры L является подалгеброй, если [TV, NiczNtH идеалом, если \L, N ] а N. Ясно, что идеал автоматически является подалгеброй. Максимальный идеал N, удовлетворяющий условию [L, N] = 0, называется центром алгебры L, а поскольку [Лг, W] = 0, то центр всегда коммутативен.
Пусть е1г ..., еп — базис в нашем векторном пространстве L. Тогда в силу линейности коммутатор Z = [X, FJ, выраженный через координаты (т. е. X = XiCi и т. д.), приобретает вид 1J
г'" = [X, F]'' = CijkXiif, і, j, k = 1, 2, . . ., п, (5)
с [бу, ек ] = Cjkei. Числа c)k называются структурными константами, а п — размерностью алгебры Ли L. Из аксиом (2) и (3) следует, что структурные константы c)k удовлетворяют условиям
c)k== -C1kj, (6)
CisCsjk + CpjsCki + CpksCij = 0. (7)
Существование подалгебр и идеалов алгебры Ли L выражается в некоторых вполне определенных ограничениях на структурные константы. Если еЛ, е2, ..., ek — базисные элементы подалгебры, то структурные константы должны удовлетворять соотношениям
Csij -= 0 при i, j с k, s~> k, (8)
если же они являются базисными элементами идеала, то
Csij = 0 при і < k, a > k и произвольном j. (9)
Несмотря на свое название, структурные константы не являются постоянными. Действительно, из определения (5) следует, что при замене базиса в алгебре L Ckij преобразуются как тензор третьего ранга с одним контравариантным и двумя ковариантными индексами.
Пример 1. Пусть L — множество всех косоэрмитовых бесследовых 2 X 2-матриц. Очевидно, что L имеет (вещественную) размерность три. Выберем в L базис
1
C1 = -
0 —I І 0
-L
2 L і
і
2 I 1 0
-І о
О і
и определим коммутатор IX, FIbL следующим образом:
[X, F] =: XF - FX, X, F^L. (10)
') Всюду подразумевается суммирование но повторяющимся индексам. Алгебры Jlu
17
Легко проверить, что этот коммутатор удовлетворяет аксиомам (1)—(3) для умножения Ли. Используя (10), находим, что eL удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
['е{, ек] = ЕШЄ[, І, k, I= 1, 2, З,
где гм — полностью антисимметричный тензор в R3. Элементами в L являются линейные комбинации е,- с вещественными коэффициентами. Матрицы Gk = 2iek называются матрицами Паули и удовлетворяют соотношениям [Gi, Gk] = 2IZiklGl.
Следовательно, L — трехмерная вещественная алгебра Ли со структурными константами C1ik, заданными в виде
ciki — 8 і/,;-
Определенная таким образом алгебра L обозначается символом su (2) (или о (3)) в соответствии с классификацией алгебр Ли, которая рассматривается в § 4 и 5.
Замечание. Если А — произвольная конечномерная ассоциативная алгебра с законом умножения (X, У) —> X- Y, то алгебру Ли можно получить, представляя правило композиции Ли [X, Y ] в виде (Х- Y — Y-X) (см. также теорему Адо в § 2).
Пример 2. Пусть L — векторное пространство всех вещественных п X n-матриц \хік), І, k 1,2, ..., п, над полем R вещественных чисел. Это векторное пространство L с умножением Ли (10) также является вещественной алгеброй Ли. Оно является полной линейной вещественной алгеброй Ли, обозначаемой символом gl (П, R).
Подмножество Al, состоящее из всех кососимметричееких матриц X, удовлетворяющих равенству Xt — —X, также замкнуто относительно умножения Ли (10). Поэтому Al является подалгеброй, обозначаемой символом о (и). Для подмножества N матриц вида KJ, кратных единичной матрице, выполняется соотношение
