Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Затем (в гл. 8) следует описание всех конечномерных неприводимых представлений произвольных групп Ли (компактных или некомпактных). Здесь дается, насколько нам известно, наиболее полное по сравнению с любой другой книгой изложение свойств представлений полупростых групп. После изложения в гл. 9 необходимых сведений по тензорным операторам, обертывающим алгебрам, инвариантным операторам или операторам Казимира и их спектрам (эти понятия используются для точного определения и обозначения представлений) в гл. 10 описываются методы точного построения конечномерных представлений. В частности, приводятся метод Гельфанда—Цетлина, тензорный метод, метод гармонических функций и метод операторов рождения и уничтожения.
В гл. И излагается теория представлений алгебр Ли и обертывающих алгебр неограниченными операторами и связанные с ней вопросы интегрируемости представлений алгебр Ли до представлений соответствующих групп Ли. Эта глава является одной из наиболее существенных в книге. Теория неограниченных операторов важна и для приложений, поскольку большинство наблюдаемых в квантовой теории представляются неограниченными операторами. В частности, представлена теория аналитических векторов для групп и алгебр Ли.
В гл. 12 и 13 описывается роль теории представлений групп в различных областях квантовой теории и даются конкретные ее применения. Математическая структура представлений групп в гильбертовом пространстве особенно приспособлена к квантовой теории. Действительно, вся схема квантовой теории может основываться на одной только концепции представлений групп. К тому же в историческом плане понятия гильбертова пространства и представлений групп в гильбертовом пространстве восходят к квантовой теории. Обсуждаются также понятия кинематической 12
Краткое содержание'книги 12
и динамической симметрий, классификация основных видов сим-метрий в физике и использование представлений групп для решения динамических проблем в квантовой механике.
Следующие две главы (гл. 14 и 15) посвящены гармоническому анализу на группах Ли, а также на однородных и симметрических
пространствах. Эта теория включает в себя обобщение разложения Фурье на некоммутативные группы, соответствующий спектральный синтез и формулы Планшереля. Наряду с общей теорией обсуждаются конкретные применения к некоторым простым группам и полупрямым произведениям групп.
Главы 16—19 посвящены теории индуцированных представлений — одной из наиболее существенных тем книги. Индуцированные представления используются уже в гл. 8 при получении классификации, а также явного вида всех конечномерных неприводимых представлений групп Ли. Здесь же излагается общая теория.
В гл. 16 мы имеем дело с основными свойствами индуцированных представлений и фундаментальной теоремой об импримитив- Краткое содержание'книги
13
ности. В гл. 17 дано описание индуцированных представлений полупрямых произведений групп с выводом полной классификации всех представлений группы Пуанкаре. Другие свойства индуцированных представлений (индукционно-редукционная теорема, теорема о тензорном произведении и теорема взаимности Фробе-ниуса) обсуждаются в гл. 18. В гл. 19 эта теория применяется с целью явного получения индуцированных неприводимых унитарных (следовательно, бесконечномерных) представлений основных и дополнительных серий комплексных классических групп Ли.
Наконец, в гл. 20, 21 рассматривается применение теоремы об импримитивности и индуцированных представлений группы Пуанкаре в квантовой физике — прежде всего к концепции релятивистского оператора положения и доказательству эквивалентности описаний Гейзенберга и Шредингера нерелятивистской квантовой механики (гл. 20), а затем (в гл. 21) — к классификации всех конечномерных релятивистских волновых уравнений, к использованию представлений с мнимой массой, к уравнениям типа Гельфанда—Яглома и бесконечнокомпонентным релятивистским волновым уравнениям, а также к проблеме группового расширения представлений группы релятивистских преобразований дискретными преобразованиями и посредством других групп симметрии.
Ряд математических понятий, которые существенны для понимания книги, но не всегда в достаточной степени известны физикам, приведен в приложениях по функциональному анализу и по некоторым другим результатам из алгебры, топологии, теории интегрирования и т. п.
В конце каждой главы содержатся замечания относительно дальнейшего развития затронутых вопросов, а также упражнения. Обозначения
Пространственно-временная метрика g,lv в книге такова, что g00 = —gii — —g22 = —g33 == 1. Символ а* означает эрмитово сопряжение матрицы или оператора а. Символами а и от обозначаются комплексное сопряжение и транспонирование матрицы а соответственно. Прямая сумма векторных пространств Vi записывается в виде Vi + V2 + ..., а прямая сумма алгебр Ли L1- — в виде Li © Li © ... . Полупрямая сумма двух алгебр Ли обозначается символом L1 -?) L2, полупрямое произведение двух групп — символом Gi х) Gz, а прямое произведение двух групп — символом Gi 0 (?. Выражение «теорема 8.6.3» обозначает теорему 3 в гл. 8, § 6. Выражение «упражнение 9.7.3.1» обозначает первое упражнение к § 3, содержащееся в гл. 9, § 7.
