Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Книга, охватывающая граничную область между теоретической физикой и чистой математикой, всегда проблематична. Поэтому данная книга некоторым физикам может показаться слишком трудной, детализованной и абстрактной, а некоторым математикам — недостаточно подробной и полной, поскольку мы намеренно опустили ряд доказательств. К счастью, потребность в знаниях в области современной математики среди физиков постоянно растет. А дать доказательства всех теорем в такой широкой области математики представляется невозможным даже при том большом объеме, который имеет настоящее издание. Там, где слишком пространные выкладки могли бы нанести ущерб ясности изложения и где этапы доказательства не казались нам существенными для дальнейшего развития предмета, мы опустили доказательства.
Собранный в монографии материал берет начало из лекций, читавшихся авторами на протяжении ряда лет в Варшаве, Триесте, Шладминге, Стамбуле, Гётеборге и Боулдере; он претерпел несколько переработок. Мы особенно благодарны многим друзьям и коллегам, прочитавшим части рукописи, внесшим в них исправления и сделавшим критические замечания. Мы хотели бы поблагодарить д-ра С. Вороновича за тщательное и терпеливое чтение всей рукописи и предложенные им многочисленные улучшения и исправления. Многие из наших друзей и коллег, в частности С. Дымус, М. Флато, Б. Костант, Дж. Макки, К. Морен, Л. Мишель, И. Сигал, Д. Стернгеймер, С. Стрём, А. Сым, И. Щирба и А. Вавжинчик, с которыми мы обсудили части рукописи, внесли конструктивные замечания.
Значительную часть данной монографии составляют результаты исследований, проведенных в рамках сотрудничества между Колорадским университетом в Боулдере и Институтом ядерных исследований в Варшаве. Это сотрудничество частично финансировалось Национальным научным фондом, согласно контракту № GF-41958. Авторы особенно признательны д-ру К. Залару, руководителю Программы по Европе и Северной Америке, за его любезную и эффективную поддержку американо-польского сотрудничества.
Наконец, мы хотели бы выразить нашу признательность г-ну Й. Панзу, редактору Польского научного издательства, за его большую помощь в подготовке рукописи к изданию. Мы обязаны также г-же 3. Осек за любезную помощь на всех стадиях подготовки рукописи к публикации.
А¦ Барут, Р. Рончка
Боулдер н Варшава, август 1976 г. Краткое содержание книги
Книга открывается обширной главой, посвященной алгебрам Ли. В ней дается подробное замкнутое изложение теории и приложений алгебр Ли. Теория алгебр Ли является самостоятельным разделом математики, и первую гласу можно читать независимо от остальных глав. После введения основных понятий излагается структура и теория произвольных алгебр Ли, описываются нильпотентные и разрешимые алгебры и дается полная классификация как комплексных, так и вещественных простых алгебр Ли. Кроме того, подробно рассматриваются теоремы о разложении алгебр .Ли, т. е. разложения Гаусса, Картана и Ивасавы.
Глава 2 начинается с обзора свойств топологических пространств, необходимых для введения понятий топологических груші. Рассматриваются такие общие свойства топологических групп, как компактность, связность, метрические свойства. Далее обсуждается интегрирование по групповому многообразию, т. е. инвариантная мера (мера Хаара) на группе. Здесь же дается фундаментальная теорема Макки о разложении топологических групп.
Глава 3 открывается обзором дифференцируемых многообразий, их аналитических структур и касательных пространств. После этих предварительных сведений по топологическим группам и дифференцируемым многообразиям вводятся группы Ли как топологические группы с аналитической структурой и выводятся основные соотношения между группами и алгебрами Ли. Остальные параграфы гл. 3 посвящены свойствам композиции и разложения групп (т. е. разложениям Леви—Мальцева, Гаусса, Картана, Ивасавы), классификации групп Ли, некоторым результатам по структуре групп Ли и построению инвариантной меры и инвариантной метрики.
В гл. 4 вводятся понятия однородных и симметрических пространств, на которых действуют группы. Эти понятия играют важную роль в современной теории представлений групп и в физических приложениях. Затем дается классификация глобально симметрических римановых пространств, связанных с классическими простыми группами Ли. В этой главе рассматривается также понятие квазиинвариантной меры, поскольку инвариантные меры на однородных пространствах в общем случае не существуют. Краткое содержание'книги
11
Теория представлений групп — основная тема книги — начинается с гл. 5, где вначале даются определения, излагаются основные свойства представлений, вводятся такие понятия, как неприводимость, эквивалентность, тензорное и прямое произведения представлений. Затем следуют теоремы Маутнера и Гельфанда— Райкова о разложении и полноте представлений групп.
После этого шаг за шагом развивается теория представлений групп, начиная с простейшего случая коммутативных групп (гл. 6). Далее следует изложение теории представлений компактных групп (гл. 7). Для полноты изложения в качестве специального случая дан также обзор по представлениям конечных групп. Теория представлений компактных групп является завершенной, и здесь приведены общие теоремы этой теории (аппроксимационные теоремы Петера—Вейля и Вейля). Имея в виду возможные применения, мы обсуждаем также проекционные операторы, разложение представлений и тензорных произведений представлений.
