Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
«1 "2 «3 к„_2 «„-і , .
A-I- О--О-О------О—-О W
Следующая фундаментальная теорема дает описание схем Дынкина и П-систем простых корней для всех простых комплексных алгебр Ли. Алгебры Jlu
45
Теорема 6. Четыре бесконечные последовательности схем
An-. о-О-О-------О-О (24)
вя: » о-о-------о——о
с„- о=
--о—-—о
(25)
(26) (27)
и пять отдельных схем
G2- • О (28)
Fa= •
• О-о (29)
^6-- О-О-^-О-О (30)
О-О-О-О-О-О (31)
Ei: О-О-О-О-О-О--О (32)
1
образуют множество всех схем, которые могут быть ассоциированы с ТІ-системами. Соответствующие И-системы простых корней имеют следующий вид:
П(АП) = \fiI+1 -fi„ ?=1, . . ., ft},
II(Bn)=-- [hx, hi+1 — h(, /=1, . . ., n— 1],
II(Cn)= [2K hi+l — Iii, i= 1, . . ., n- 1},
П(Dn) = [H1 + h2, hi+1 - hh і = 1, 2, . . ., n-\\,
H(G2) = j/:2 - fh, Zi<3> - 3/i2},
П(Fi) = ^h3-Ii2, Ii2-Iil, Ii1, -L-(Zi4-Zi1--Zia-Zi3)], II(Ee) = {hM-ht, i=l, 2, ..., 5, -Lyjh7 +
+ -Ik- hb- h0], П (E7) = |/l?+1 _ Ih, /=1, 2, . . ., G, 1 hW - Ik - h, - Ih - Ц,
H(E8) = Ih1^h2, hi+1-ht, і = 1, 2, . . ., 6, Ii8--LhM. .<46
Глава 1
Векторы hi являются ортогональными базисными векторами соответствующего евклидова пространства и имеют одинаковую, хотя и произвольную, длину, a h(r) = H1 + /і2 + ... + hr.
С каждой схемой (24)—(32) связывается некоторая простая комплексная алгебра JIu.
(Доказательство см. в [237], § 7.)
Заметим, что схемы A1, B1 и C1 тождественны. То же самое имеет место для пары алгебр B2 и C2, а также для пары A3 и D3. Все остальные схемы различны. Таким образом, имеем
СЛЕДСТВИЕ. Четыре бесконечные последовательности алгебр JIu
An, 1, Bn, п > 2, Cn, п> 3, Dn, п>- 4,
и пять исключительных алгебр JIu G2, F4, E6, E7, E8 составляют все неизоморфные простые комплексные алгебры JIu.
Последовательность Dn не содержит алгебры D2, поскольку она не является простой (D2 — D1 @ D1 — прямая сумма двух идеалов). Ясно, что A1 ~ B1 ~ C1, B2 ~ C2, A3 ~ D3 ввиду совпадения их схем Дынкина.
Большое практическое значение имеет задача восстановления простой алгебры Ли по ее П-системе простых корней. Эту задачу можно решить посредством следующих шагов:
Г Восстановить Д-снстему по П-системе (см. теорему 5).
2й Вычислить (с точностью до знака) структурные константы Г1РИ помощи формулы (15).
3° Определить знак Na, Выбор знака Naj ? следует делать таким образом, чтобы выполнялись аксиомы (1.2) и (1.3) алгебры Ли.
После осуществления этих шагов коммутационные соотношения произвольной простой комплексной алгебры Ли задаются формулами (13). Размерности простых комплексных алгебр Ли An, Bn, Cn и Dn можно вычислить, исходя из определяющей их матричной реализации (см. § 1, А); они равны
An Bn Cn Dn
Размерность п (п + 2) п(2п-\- 1) п (2п + 1) п (2п — 1)
Размерности исключительных алгебр Ли равны: G2 — 14, F4 — 52, E6 — 78, E7 — 133, E8 — 248. В этом случае размерности также могут быть вычислены из реализаций алгебр (см. § 5 и § 9, Г).
§ 5. Классификация простых вещественных алгебр Ли
В § 4 дана классификация всех простых комплексных алгебр Ли. Эта классификация служит также естественной отправной точкой для классификации всех простых вещественных алгебр Ли. Алгебры Jlu
47
Это обусловлено тем, что с каждой простой комплексной алгеброй Ли можно связать последовательность вещественных простых алгебр Ли, введенных в § 1, А, при помощи следующих двух процессов:
А. Выделение всех неизоморфных вещественных форм Lr заданной комплексной простой алгебры Ли L.
Б. Построение вещественной алгебры Ли Lr, ассоциированной с заданной комплексной простой алгеброй Ли L.
Эти два процесса, как мы увидим, дают все простые вещественные алгебры Ли.
Прежде всего заметим, что всякая вещественная форма Lr комплексной простой алгебры Ли L является простой. Действительно, вещественная форма Lr порождается специальным базисом заданной комплексной простой алгебры Ли L, в котором все структурные константы вещественны. Однако в простой комплексной алгебре Ли L нет базиса, в котором структурные константы могли бы удовлетворять условиям (1.9). Значит, Lr не имеет идеалов и поэтому проста. При помощи тех же аргументов заключаем, что алгебра Ли Lr, ассоциированная с простой комплексной алгеброй Ли L, также проста.
Утверждение, обратное последнему, неверно: комплексное расширение вещественной простой алгебры Ли может не быть простым. Например, комплексным расширением алгебры Ли Лоренца о(3, 1), заданной соотношениями (1.23а), является комплексная алгебра Ли о (4, С) — D2, изоморфная прямой сумме Di © D1 двух идеалов.
ТЕОРЕМА 1. Все вещественные простые алгебры JIu получаются применением процессов А и В ко всем простым комплексным алгебрам Ли.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L — произвольная простая вещественная алгебра Ли, a Lc — ее комплексное расширение. В общем случае алгебра Lc может не быть простой. Соответственно различаем два случая:
1) Lc — простая. В этом случае исходная вещественная простая алгебра Ли L является одной из вещественных форм алгебры Lc.
