Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Множество положительных векторов X1, X2, ..., Xm из Rm, подчиняющихся условиям
(XhXk)^O, ii-k, (17)
является линейно независимым множеством. Действительно, допустим, что векторы x1, X2, ..., Xm Линейно зависимы, и пусть Ух, у2, ..., у,j — минимальная линейно зависимая подсистема. Тогда мы имели бы
п
Zatyi = 0, где at ф 0, i=l,2, ...,п. (18)
<=i
Пусть и — сумма всех слагаемых в (18) с положительными коэффициентами, а —v — сумма всех членов с отрицательными коэффициентами. Тогда (18) запишется как и = v, откуда получаем (и, и) = (и, и). Но (и, и) > 0, а (и, v) ввиду (17) неположительно. Таким образом, имеем противоречие. В силу этого простые корни, которые положительны и удовлетворяют условию (17), линейно независимы. Они образуют базис пространства H* вследствие (15) и теоремы 2.4°.
4°. Если к системе П добавим положительный корень ф Q II, то получим линейно зависимую систему. Поэтому по крайней мере одно из скалярных произведений типа (17) положительно, т. е. (ф, (Zi) > 0. По теореме 2.2° это неравенство предполагает для некоторого простого корня аг, что р 0 и, следовательно, гр = = ф — a Q А. Неравенство гр <; 0 невозможно, поскольку в противном случае простой корень а представлялся бы в виде суммы двух положительных корней.
ПРИМЕР 2. Определим теперь П-систему для алгебры si (л, С); А-система задана при помощи соотношения (12). Выберем Hi, і = 1,2, ..., п, в качестве базисных векторов в Н* и определим
І M1-> 0, (=1
если первая ненулевая компонента в (X1, K2, ..., Kn) положительна. Тогда корни
Haik = Hi — Hk, i, k= 1, 2, . . ., п, і : к, /<А, Алгебры Jlu
43
положительны, а корни
^alt t+1 = Hi- Hui = -^-Ht, і= 1,2, . . ., п— 1,
простые, где Hi задан согласно (6). Обозначая корень а,-, г+1 символом а і и воспользовавшись равенством (2.14), находим
1 /
для i = k,
(а?, ak) = (Ha., Hak) =
п
для (19)
О для |i-ft|>l, т. е. углы (а,-, а і) между корнями аг и а,, равны
\ 120°, если |і — ft| = l,
<«,-,«*> = ( 90о( если (20)
Метрические свойства П-системы полупростой алгебры Ли L определяют А-систему. Индуктивный метод построения Д-снстемы содержится в доказательстве следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 5. A (L)-CtwmeMa всех корней заданной полупростой алгебры JIu L может быть построена по ее П (L)-CtwmeMe простых корней.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 2.1°, можно ограничиться задачей построения только положительных корней. Пусть ? —
п
положительный корень из А, а ? = ?ft(Ocf — его разложение на
i=i
простые корни, как и в (16). Назовем корень ? корнем порядка s,
п
если ft/ = s- Ясно, что все простые корни порядка один. Пред-
I=I
положим теперь, что мы уже построили все корни порядка меньше чем s. По теореме 4.4° корни порядка s имеют вид ф + а, где гр — корень порядка s — 1 и а ? П. Воспользуемся формулой
(теорема 2.2°), если вектор гр + a Q А. Векторы tp = гр ka, к 0, —1, —2, ..., согласно теореме 4.3°, положительны и являются корнями порядка меньше чем s. Поэтому по индукции можно определить, принадлежат они множеству A или нет, и найти наименьшее значение /е,ІІ1и - р. С помощью формулы (21) находим число q. Если q > 0, то последовательность ф = ф 1- ja, j = - 1, 2, ..., q, содержит корень ф -j- а. В противном случае isewT.jp s|; I а не яu чяется корнем. .<44
Глава 1
Последняя теорема и теорема 3 показывают, что фактически задача классификации всех простых комплексных алгебр Ли сводится к задаче классификации всех П-систем простых корней. В соответствии с теоремой 4 последнюю задачу можно свести к более простой комбинаторной задаче классификации всех конечных систем Г векторов из Rn1 удовлетворяющих следующим условиям:
1° Г — линейно независимая система векторов,
г>о о ^ ті 2 (а, ?)
2 если а, р Q Г, то —(|рру--неотрицательное целое число.
Ясно, что всякая П (Е)-система простых корней является Г-си-стемой.
Задачу классификации П-систем для простых алгебр Ли можно упростить при помощи введения аппарата схем Дынкина. Прежде всего заметим, что, согласно теореме 4.2°, при а, ? Q П, а =I= ?, величина
^-?- <22>
является неотрицательным целым числом; таким образом, 4 cos2 (а, ?) принимает одно из значений О, 1, 2 или 3; следовательно, соответствующими углами являются 90°, 120°, 135° и 150° соответственно.
П-систему (или Г) векторов (аъ а2, ..., ап) можно изобразить графически как связный линейный комплекс (или граф). Вершины (а+ (а2), ..., (ал) находятся во взаимно однозначном соответствии с векторами аг П-системы. Две различные вершины комплекса связаны одинарной, двойной или тройной линией, когда два соответствующих вектора образуют угол 120°, 135° или 150е соответственно. Если все векторы аг имеют одинаковую длину, обозначаем вершины светлыми кружками О; если векторы а,-имеют две различные длины, обозначаем вершины, соответствующие векторам меньшей длины, темными кружками ф, а остальные — светлыми кружками.
ПРИМЕР 3. Пусть L = si (п, С). Строим схему Дынкина для этой алгебры Ли. Согласно (19), все простые корни аг имеют одинаковую длину. Кроме того, в силу (20) простые корни а, и а1+1 будут связаны одинарной линией; любая другая пара аг, ak, k =/= і 1, простых корней образует угол (а,-, ал.) = 90°, и поэтому они не связаны. Следовательно, схема Дынкина для si (п, С) (-^nj) имеет вид
