Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Sl (п, С) = H -I- t і La'/.', La'1' = (Ifiik))* і, fc=i і Фіг
В подалгебре H можно выбрать базис
Ht = eti—ei+Ui+1, і = 1, 2, . . ., /г — L (Щ Алгебры Jlu
39
Тогда Tr (Hi) = 0. Далее определяем явный вид системы корней А. Согласно (3), имеем
aik(X) Ha.k)
для произвольного X = ^2.....G Н. С целью определить
неизвестный вектор Haik € # представим его в виде (4), т. е.
п п
H0. == Psess, Xl Ps =0, (7)
S=I S=I
и получим
а<* h.....О = (?- s.....V jV IV-- О = ~ Кк-
С другой стороны, используя соотношения (2.14) и (4), получаем
(^V h.....V .....О ~
П
= 2nlr(Ah, X2, .... vV ^.....О = 2« S Xsps.
Таким образом, равенство
п
2п ? = Xi — Xft (8)
S=I
должно выполняться при любых Xs, s = 1, 2, ..., п, при условии,
п
что Exs = O. Легко проверить, что равенство (8) имеет место
S=I
тогда и только тогда, когда
1
Ps
2п ' S = I' 2л *
0, s Ф i, k.
Из (7) и (9) находим окончательный вид векторов Haik Є Н, соответствующих корням ctift:
На.к = — (еи - ekk), і, k = 1, 2, . . ., я, і ft. (10)
Если положить
то для Д-системы алгебры si (я, С) в итоге получим
Д (si (я, С)) = IH1 - Hk, i, k = 1, 2, . . ., я, і =f k}. (12) Утверждения 5° и 6° теоремы читатель может легко проверить. .<40
Глава 1
Следующая теорема описывает основные свойства системы корней полупростой комплексной алгебры Ли.
ТЕОРЕМА 2. 1 ° Если a Q А, то—а ? А,ноприкф А.
2° Предположим, что а, ? ? А, а ф ±?. Если ?/; -- ? | ka и Q А при целых k, р < k < q, но ?„_t А, ?9+l ?: А, то
2 (?, а) / ¦ ч
3° (?, а) = —2 (/?р>а ; (рф,а + <?ф,а). где (?ра) —
А
наименьшее (наибольшее) число в последовательности pk = р + to, р, о, Pj ^ А, определенной в 2°.
4° Форма Киллинга задает на линейном пространстве
H*= Z '"оЛа, 'а Є Я, Д
вещественную положительно определенную метрику. Более того,
H = H* + і И*.
(Доказательство см. в [390], гл. III, § 4.)
Если выбрать в качестве базиса алгебры Ли базис подалгебры Картана и корневые векторы, то получим так называемый набор коммутационных соотношений Картана—Вейля для полупростой комплексной алгебры Ли. Этот базис часто используется физиками. Свойства базиса Картана—Вейля описывает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3. Для каждого a Q А можно выбрать вектор Ea Q La, такой, что для всех а, ? Q А имеем
[Hit Ea] = a (Hi) Ea для HiQH,
0, если а+ РФ 0 и a + ?^A,
IE0, ?р] = Ha, если а -f ? = 0, (13)
¦ nO., ??a+?, если a + ? Q A,
где константы /Vcti р удовлетворяют соотношению
Na, „ = -AU -р. (14)
Для любого такого выбора
= а), (15)
где числа р и q определяются последовательностью ? -f ka из теоремы 2.2°,
(Доказательство см. в [3901, гл. III, § 5.) Алгебры Jlu
41
Б. Схемы Дынкина
В теореме 1.4° мы видели, что каждому корню соответствует единственный вектор Ha в подалгебре Картана Н. С другой стороны, количество корней, вообще говоря, превышает размерность подалгебры Картана; это наглядно видно на примере 1, si (п, С), где п2 — п корней выражаются через п — 1 базисных векторов подалгебры Н. Значит в общем случае корневые векторы линейно зависимы. Естественно поэтому ввести базис в корневом пространстве. Можно ожидать, что задача классификации всех систем корней А может быть сведена к более простой задаче классификации всех неэквивалентных систем базисных векторов в корневом пространстве. Это основная идея, которая привела Дынкина к понятию простых корней и к так называемым схемам Дынкина.
Пусть Н* — определенная в теореме 2.4° подалгебра из подалгебры Картана, и пусть X1, X2, ..., Xt — базис в Н*. Говорят, что вектор X ? Н* положителен, если первая отличная от нуля его координата положительна.
Положительный корень X ? Л будем называть простым, если его нельзя представить в виде суммы двух положительных корней. Свойства системы П (L) простых корней полупростой алгебры Ли L описывает следующая теорема.
Теорема 4. Г Если a Q П, ф Q П, то ф — а <=? П. t 2° Если a Q П, ф Q П, а ф ф, то —2 (<р, а)/(а, а) — неотрицательное число.
3° П-система является линейно независимым множеством и служит базисом для пространства Я*. Произвольный корень Ф Q А можно представить в виде
і
ф = є Yi kiai> (i?)
і=І
где є = ±1, Iii — неотрицательные числа.
4° Если положительный корень не является простым, то ф = а + ф, а ? П, ф Є Д, 0 <ф <Ф*).
Доказательство- 1°- Пусть ф — а = ф Q Д. тогда по теореме 2.1° —-ф QA и ф = а + ф, а = ф + (—гр). Значит, поскольку либо ф > О, либо —ф > 0, то либо ф, либо а не является простым корнем. Таким образом, имеем противоречие.
2°. Согласно теореме 2.2°,
(Р-Н).
где р, q — целые и р < С]. Ввиду 1° р = 0. Поэтому
-^4- =-<7 <0.
(а, а)
') >|> < ф означает, что первая ненулевая координата у ф—ф положительна. .<42
Глава 1
3°. Пусть К — положительный корень. Если корень К — простой, то K = а,-. Если же К не является простым, то К = а + ?, где а и ? положительны. Если же а или ?, или оба они не являются простыми, то эта процедура повторяется. Наконец получаем выражение (16) с е = |1. Если К отрицательно, то применяем наше разложение к вектору —К и получаем (16) се = —1.
