Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Если N или Nx все еще полупросты, повторяем процедуру до тех пор, когда полупростая алгебра L разложится в прямую сумму простых попарно ортогональных некоммутативных подалгебр:
L = N1QN^ . . . ®Nkt [Nlt AJ7J = O, (7)
(NitNf) = Ot /, /= 1, . . ., k, i + j. Пусть теперь TWi © ЛІ2 © ... © Ms — другое разложение алгебры L на простые идеалы. Пусть Mk — простой идеал, которого нет среди идеалов N1. Тогда, поскольку Mk и Ni — различные простые идеалы алгебры Lt имеем
[Mkt N1] cz Mk Л Ni = {0}.
Значит, Mk принадлежит центру алгебры L, который равен нулю, поскольку L полупроста. Следовательно, разложение (7) единственно (с точностью до перестановки).
Классификация всех простых комплексных и вещественных алгебр Ли рассматривается в следующих двух разделах.
§ 4. Классификация простых комплексных алгебр Ли
В этом параграфе мы введем важное понятие системы корней, связанной с полупростой комплексной алгеброй Ли. Затем дадим принадлежащее Дынкину понятие простых корней, которое дает основу для классификации всех простых комплексных алгебр Ли. Наконец, перечислим классические и исключительные простые комплексные алгебры Ли.
А. Система корней
Хорошо известно, что коммутационные соотношения алгебры Ли so (3) можно записать в виде [J0> ^±1 = —Ль I^+. — Л>-что часто используется в физике. В этом параграфе мы дадим обоб- Алгебры Jlu
37
щение этой процедуры на произвольные полупростые алгебры Ли, что также имеет большое теоретическое значение.
Пусть V — векторное пространство. Подпространство W cz V называется инвариантным по отношению к совокупности T линейных преобразований векторного пространства V, если для каждого т ? T имеем т W cz W. Множество T линейных преобразований называется полупростым, если дополнение каждого инвариантного подпространства из V по отношению к T также является инвариантным подпространством.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Подалгебра H полупростой алгебры L называется подалгеброй Картана, если
1° H — максимальная абелева подалгебра в L,
2° для произвольного XQH преобразование ad X пространства L является полупростым.
Пусть а — линейная функция на комплексном векторном пространстве H cz L, где H — подалгебра Картана в L. Обозначим через La линейное подпространство в L, определяемое условием
La = {YQL: [X, Y] = Ct(X)F для всех XQH\. (1)
Если La ф {0}, то а называют корнем 1 , a La — корневым подпространством, фактически корневым вектором, как мы сейчас увидим. Из тождества Якоби следует, что
[La, LP] cz LK+? (2)
для произвольных комплексных линейных функций а, ? на Н. Свойства корней и корневых подпространств описываются следующей теоремой.
теорема 1. Пусть L—полупростая комплексная алгебра Ли, и пусть А обозначает систему ненулевых корней. Тогда:
1° L = H + Z + Le-
2° Для любого a Q A dim La = 1 (т. е. корни невырождены, за исключением ос = 0).
3° Если корни а, ? удовлетворяют а -f ? ф 0, tno (La, Lp) = 0.
4° Ограничение формы Киллинга на подалгебру Картана, т. е. на H X Н, невырождено. Для любого корня a Q А существует единственный вектор Ha Q Н, такой, что
(X, H0) = ct(X) для всех X QH. (3)
5° Если et ? Д, то —a Q А и если Xa Q La, Х_а Q L~a, tno __IXat Xua] = (Xat Х_а) Ha, ct (Ha) ф 0.
1 Название «корень» обязано тому факту, что [X, Y] =аY является уравнением на собственные значения, а а могут быть получены в системе координат Решением секулярного уравнения det [X'C^j — абк.] = 0. .<38
Глава 1
6° Если а, ? 6 А и а + ? =/= 0, то [La, LP ] - La+P. (Доказательство см. в [390], гл III, § 4.)
Таким образом, H и корневые векторы La дают подходящий базис в L. Пункт 4° теоремы 1 дает взаимно однозначное соответствие между корнями а и элементами Ha подалгебры Картана Н. Ясно, что вектор Ha Q H соответствует корню тогда и только тогда, когда в L существует корневой вектор Ea, удовлетворяющий соотношению
[X, Еа\ = (X, Ha) Ea для всех X Q И.
В последующем скалярное произведение (На, Н$) будем для краткости обозначать (ос, ?).
Проиллюстрируем теорему 1 на примере алгебры Ли An.
Пример 1. Пусть L = si (п, С). Эта алгебра натягивается на базисные векторы eik (1.11), удовлетворяющие коммутационным соотношениям (1.12). Пусть Ki, і = 1, 2, ..., п, — комплексные
п
числа, такие, что Z^i = 0- Тогда ввиду (1.12) на элементы 1=1
п
A1. к.....K=3Ij (4)
12 " і=і
натягивается максимальная коммутативная подалгебра H алгебры si (п, С). Используя (1.12), получаем
[Ah, ч.....v en] = ?t - Xk) <Пи (5)
Следовательно, каждое одномерное подпространство Eik из si (п, С), натянутое на вектор eik, инвариантно по отношению к операции ad X при X Q Н. Поэтому дополнение Eik в si (п, С) при заданных і и k также инвариантно относительно ad X, XQ И. Следовательно, преобразования ad X, X Q Н, полупросты; таким образом, H — подалгебра Картана в si(п, С) ввиду определения 1. Кроме того, согласно (1) и (5), комплексные линейные формы
^ik (A^t Jt2.....= — Kk, і, k=\, 2, . . ., п, і / к,
являются ненулевыми корнями алгебры si (п, С). Лучи Eik = = ((eik)) представляют собой одномерные корневые подпространства La'*. Разложение 1° теоремы 1 в этом случае принимает вид
