Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Прямая сумма простых идеалов полу проста.
2 А. Барут, Р. Рончка.<34
Глава 1
Ясно, что центр N алгебры L коммутативен. Таким образом, задача классификации всех компактных алгебр Ли на деле сводится к задаче классификации всех вещественных компактных простых алгебр Ли. Решение этой последней задачи дано в § 5.
Обратимся теперь к структурным теоремам для произвольных алгебр Ли и докажем сначала следующее важное свойство произвольной алгебры Ли.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пусть L — алгебра Ли над R либо С. В L существует максимальный разрешимый идеал N, такой, что всякий другой разрешимый идеал алгебры L содержится в N.
доказательство. Пусть N—разрешимый идеал в L, не содержащийся в любом другом разрешимом идеале, и пусть M — произвольный разрешимый идеал алгебры L. Пусть ср — естественный гомоморфизм N M на (N - j- M)/M. Тогда ф (N) = (N -1 -и ядро гомоморфизма <р при ограничении на N равно N[\M\ следовательно, (N М)!М и N/(N (~) №) изоморфны.
Поскольку N П M разрешимо, фактор-алгебра Ли Ni(N П Л') также разрешима; поэтому изоморфная ей алгебра (N + М)ІМ также разрешима. Так как (N + М)ІМ и M разрешимы, N + + M — разрешимый идеал алгебры L. Следовательно, M cz N.
Максимальный разрешимый идеал N, содержащий любой другой разрешимый идеал алгебры Ли L, называется радикалом.
Для полупростой алгебры Ли L радикал N должен равняться нулю. В самом деле, если N ф 0, то N^ = [Лг<<г—1>, ЛГ«*-1» Af(O) = N — также идеалы в L ввиду (2.2); поэтому если AJ'"-1' Ф 0 и N^ = 0, то /Vf"-1) был бы ненулевым коммутативным идеалом в L. Следовательно, если L полупроста, N должен быть равен нулю.
Таким образом, разрешимые и полупростые алгебры образуют два раздельных класса алгебр Ли.
В этом месте можно предположить, что если выделить радикал N из заданной алгебры Ли L, то полученная алгебра Ли полупроста. Действительно, имеется
утверждение 4. Пусть L — алгебра Ли над R либо С. Если N — радикал алгебры L, то фактор-алгебра LiN полу проста.
Доказательство. Пусть <р — естественный гомоморфизм L на LlN. Предположим, что S — разрешимый ненулевой идеал в LiN, и пусть S = ф"1 (S). Ясно, что поскольку ф (N) = 0, идеал S больший, чем N, и содержит N. Алгебры SiN и N разрешимы. Поэтому S также разрешим и содержит N. Это, однако, противоречит максимальности радикала N. Значит, S= {0}. Следовательно, LiN не содержит коммутативного идеала, а потому полупроста.Алгебры Jlu
35
Пример 1. Пусть L — алгебра Ли P группы Пуанкаре. Из коммутационных соотношений (1.23) следует, что совокупность \t*} генераторов трансляций Pll, р = 0, 1, 2, 3, представляет собой максимальный разрешимый идеал алгебры Р. Фактор-алгебра
M = Pfti
— это алгебра Лоренца, которая пол у проста.
Утверждение 4 устанавливает тот факт, что произвольная алгебра Ли L состоит из двух частей: радикала N и полупростой алгебры UN. Следующая фундаментальная теорема дает более полное описание этого разложения.
ТЕОРЕМА 5 (теорема Леви—Мальцева). Пусть L — произвольная алгебра Jlu над R либо С с радикалом N. Тогда существует полупростая подалгебра S алгебры L, такая, что
L = AZ-DS. (3)
Любые два разложения L вида (3) связаны посредством автоморфизма алгебры L.
(Доказательство см. в [185], гл. V, § 4, теорема 4.)
Равенство (3) называется разложением Jleeu алгебры L, а подалгебра S называется фактором Леей.
Теорема 5 подразумевает, что
[N, N] cz N, [S, S] с= Sf [Л/, S] с= N, (4)
т. е. любая алгебра Ли L является полупрямой суммой N -?> S максимального разрешимого идеала N и полупростой подалгебры S. Например, алгебра Пуанкаре Р, заданная соотношениями (1.23), имеет следующее разложение Леви:
P = tlV М, M = sо(3, 1), (5)
[/4,^1 = 0, [М, MlczM, [t\ M\czt\ (6)
Теорема Леви—Мальцева позволяет свести задачу классификации всех алгебр Ли к следующим задачам:
1) классификация всех разложимых алгебр Ли;
2) классификация всех полупростых алгебр Ли;
3) классификация всех дифференцирований (1.26) разрешимых алгебр Ли, подразумеваемых классификацией полу простых алгебр Ли.
К настоящему времени только задача (2) решена полностью, что является одним из наиболее замечательных и значительных результатов в теории алгебр Ли. Задачи (1) и (3) решены лишь частично..<36
Глава 1
На втором этапе задача классификации всех полупростых алгебр Ли сводится к задаче классификации простых алгебр Ли. Действительно, имеется
Теорема 6 (Картан). Полупростая комплексная или вещественная алгебра JIu может быть разложена в прямую сумму попарно ортогональных простых подалгебр. Это разложение единственно.
доказательство. Предположим, что N — ненулевой идеал алгебры L. Согласно лемме 2.6, мы знаем, что ортогональное дополнение Nx также является идеалом алгебры L. Очевидно, что N f| N1 также идеал в L; следовательно, если X Q N f| Nx, то (X, X) = 0. Таким образом, идеал N 0 Nx разрешим в силу леммы 2.5 и теоремы 2.3. Полупростота L подразумевает, что N f| Nx = 0. Поэтому алгебра L имеет разложение
L = N@Nxt где [NtNx] = 0 и (NtNx)= 0.