Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
с®-, = 0 для 7 < г, s >> г и і = 1, 2, . . ., я»
C^1J = 0 для m, J, t « г. Вследствие этого получаем
t S t S _ t S _
Sim = CisCmt = CilCnit == CilCmt U'
За счет этих исчезающих компонент метрического тензора det ] обращается в нуль, т. е. форма Киллинга (5) вырождена. Чтобы доказать вторую часть теоремы, предположим, что ортогональное дополнение Lj- алгебры L нетривиально. Поскольку L — идеал в L, ортогональное дополнение Lx также является идеалом L согласно лемме 6. Если X ? Lj-, то (X, X) = 0. Значит, в силу теоремы 3 Lx — разрешимый идеал. Следовательно, Lx содержит нетривиальный коммутативный идеал, являющийся в то же время идеалом в L. Таким образом, приходим к противоречию, так как L полупроста и не имеет коммутативного идеала. Поэтому Lx = 0 и, следовательно, (X, У) невырождена.
определение 4. Алгебра Ли L проста, если она не имеет идеалов, отличных от {0} и L, и если L*1» = [L, L] ф 0.
В § 4 мы увидим, что классы алгебр An, Bn, Cn и Dn являются простыми алгебрами. Кроме них существует только пять простых алгебр. .<32
Глава 1
Условие Z,(1> -h 0 исключает алгебры Ли размерности один, которые были бы простыми, но не полупростыми. Например, алгебра из примера 1.1 проста. Разрешимая алгебра L не может содержать простой подалгебры; это следует из того факта, что если L' — любая простая подалгебра, то идеал [L', U 1 по определению 4 равен //; таким образом, последовательность идеалов Uk) = = [L'*-1), L'*-1) 1, L<°> == L алгебры L всегда содержала бы L' и поэтому никогда не обрывалась. Значит, если L содержит простую подалгебру, она не может быть разрешимой.
Говорят, что алгебра Ли L компактна , если в L существует положительно определенная квадратичная форма (•, •), удовлетворяющая условию ')
([X, У], Z) ИУ, [X, Z]) = 0. (16)
Все остальные алгебры Ли называются некомпактными. Форма Киллинга (5) удовлетворяет условию (16). Значит, если метрический тензор Картана полупростой алгебры Ли L положительно (или отрицательно) определен, то L компактна.
В комплексной алгебре Ли любая инвариантная квадратичная форма является индефинитной. Следовательно, всякая комплексная алгебра Ли некомпактна; компактная алгебра Ли является некоторой вещественной формой Lr комплексной алгебры Ли L (см. § 5). Покажем теперь, что для компактной полупростой алгебры Ли L структурные константы Crs могут быть представлены посредством полностью антисимметричного ковариантного тензора 3 ранга; в самом деле, если с помощью метрического тензора Картана gtl в L опустить индексы контравариантных тензоров, то тензор
CrsI = Crsgti (17)
при помощи (8) можно записать в виде
Crsi = CtrsC1lmCin = —c[mc't'rcfn — CtmrCr!sc"ln согласно (1.7) = CtsmCrtdin + CtmrCt1sCni согласно (1.6).
Последнее выражение симметрично относительно циклических перестановок индексов и антисимметрично по г, s в силу (1.6); следовательно, тензор (17) полностью антисимметричен. С другой стороны, в компактной алгебре Ли L метрический тензор Картана может быть выбран в виде gtl = btl\ тогда ввиду (17)
Crsi = C1rs, (18)
т. е. структурные константы Crs и компоненты crsi тензора (17) совпадают.
J) В гл. 3, § 8 мы покажем, что алгебра Ли компактной группы Ли компактна. Это оправдывает распространение понятия компактности с групп на алгебры. Алгебры Jlu
33
§ 3. Структура алгебр Ли
Класс разрешимых алгебр Ли в некотором смысле дополняет класс полупростых алгебр: действительно, всякая разрешимая алгебра Ли содержит коммутативный идеал, тогда как, с другой стороны, полупростая алгебра Ли не имеет коммутативного идеала. Следующие теоремы показывают, что в известном смысле классификация всех алгебр Ли сводится к классификации разрешимых и полупростых алгебр Ли.
Начнем с анализа структуры компактных алгебр Ли. Покажем, что произвольная компактная алгебра Ли является прямой суммой N ® S двух идеалов, где N — центр алгебры L, a S — полупростой. Этот важный результат получается в два этапа.
утверждение 1. Пусть L — компактная алгебра Jlu. Всякий идеал N алгебры L является простым слагаемым, т. е. в L существует другой идеал S, такой, что
TV п S = О, N®S = L (прямая сумма идеалов). (1)
Доказательство. Пусть (•, •) — положительно определенная квадратичная форма в L, удовлетворяющая условию (2.6в). Обозначим через S ортогональное дополнение пространства N в L в смысле метрики, индуцируемой формой (•, •). Ясно, что Af П S = 0 и NQS = L. Остается показать, что 5 — идеал в L. Действительно, согласно (2.6в), для произвольных I ? L, п QNnsQS имеем
{п, [I, S]) = -([/, я], s) = О,
так как [I, п] Q N. Таким образом, [I, s] ? S, т. е. S — идеал в L.
Основной структурной теоремой для компактных алгебр Ли является следующая теорема.
теорема 2. Компактная алгебра JIu L является прямой суммой L = N@S = N®S1®St® ... ®Sn (2)
идеалов, где N — центр алгебры L, S — полупростая, a Si — простые алгебры.
Доказательство. Центр N алгебры L является идеалом в L, и значит, согласно утверждению 1, L разлагается в прямую сумму центра N и идеала S, не содержащего центра. Если 5 — не простой, то опять, согласно утверждению 1, 5 разлагается в прямую сумму S' © S" идеалов; каждое слагаемое должно быть некоммутативным, поскольку 5 не имеет центра. Последовательно повторяя эту процедуру, получаем разложение L в прямую сумму ее центра N и некоммутативных простых идеалов Si.
