Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
= Tr (ad F ad X ad Z) — Tr (ad F ad Z ad X); тогда из равенства Tr (ABC) = Tr (CAB) имеем a + b = 0, т. е. (6в).
Симметрическая билинейная форма (5) на LxL называется формой Киллинга. Выражая через координаты в некотором базисе, из (4) получаем
(X, F) = Tr ((ad Xfk (ad F)-) = CilkX1^ys -= gisXly, (7) Алгебры Jlu
29
где симметрический тензор второго ранга
g: s ¦= <-'vAi (8)
называется метрическим тензором Картана алгебры Ли L. Заметим, что для некоторых алгебр (например, коммутативных) форма Киллинга (5) и, следовательно, метрический тензор (8) МОГуТ быть ВЫрОЖДеНЫ, Т. Є. det [gfc; 1 = 0.
Для произвольного автоморфизма if заданной алгебры Ли L ввиду (1.33) имеем
ad г|: (X) і): ad Хх\ К
В силу этого
M-(X), іМУ)) = (Х, П (9)
т. е. форма Киллинга инвариантна относительно действия группы Ga всех автоморфизмов алгебры L.
Форма Киллинга (5) и ассоциированный с ней тензор Картана играют фундаментальную роль в теории алгебр Ли и их представлений.
Например, простой критерий разрешимости алгебр Ли через форму Киллинга дает следующая теорема.
теорема 3. Если (X, X) = 0 для всякого X ? L1 то L — разрешимая алгебра JIu *). Если алгебра L нильпотентна, то (X, X) = 0 для всех XQL.
(Доказательство см. в [237], теорема V.)
Докажем теперь три полезные леммы.
Лемма 4. Пусть через ( , ), ( , )с и ( , )R обозначены формы Киллинга вещественной алгебры L, ее комплексного расширения Lc и вещественной формы (Lc)r комплексного расширения Lc. Тогда
(X, Y) = (X, Y)c для X, YQL, (10)
(X. Y,R = 2Re((X, Y)c) для XtYQ(Lc)*. (11)
Доказательство. Мы можем выбрать одинаковый базис (т. е. один и тот же набор структурных констант) для L и Lc. Тогда метрические тензоры Картана в L и Lc совпадают. Это доказывает равенство (10). Чтобы доказать (11), рассмотрим линейное преобразование А и базис ех, . .., еп в Lc. Пусть А = В + ІС — разложение преобразования А на вещественную и мнимую части. Тогда в базисе є,, . . ., еп, іЄі.....іеп алгебры Lr имеем
А (ek) = Bek + С (iek), k = 1, 2, . . ., п, A (iek) = -Cek -і- В (iek), k = 1, 2, . . ., п.
\) Заметим, что обратное неверно. .<зо
Глава 1
Значит, преобразование А в Lr, индуцированное преобразованием
" В
А в Lc, имеет вид А
Полагая А = ad X ad F и вос-
-C В
пользовавшись определением (5), получаем равенство (11). Лемма 5. Пусть N ~ идеал алгебры JIti L. Если X, Y Q N, то (X, Y)n = (X, Y)l, (12)
т. е. значение формы Шиллинга на N, взятое по отношению к N, такое же, как и по отношению к L.
Доказательство. Если еТ, с-Г ..., <?-, er+1, ..., еп — базис в L, такой, что еу, <?2, • • м e-, г < п, — базис в N (т. е. индексы с чертой относятся к идеалу N), то для X, Y ? N имеем, согласно (1.9),
(X, Y),, = Tri (ad X ad F) = 4*?/ =
= сЬхЦіУТ = Tr" (ad X ad F) = (X, Y)n.
Лемма 6. Ортогональное дополнение (по отношению к форме Киллинга) идеала NaL также является идеалом.
Доказательство. Пусть X ? N1- = {X Є L : (X, N) -= Oj. Тогда для каждого Y ? N и Z ? L из (6в) имеем
(ad Z(X), Y) = — (X, ad Z (F)) = 0. Поэтому для любого Z ad Z (X) Q Nx, т. е. Nx — идеал в L.
Пример 1. Вычислим явно форму Киллинга алгебры Ли si (л, С). Воспользовавшись выражением (1.13) для структурных констант алгебры gl (п, С), вычислим сначала метрический тензор Картана (8):
Ssm, s'm' == Csm, kr^s'm', Ij — 2/?8sm'8ms' — 26snj8s'm'.
Отсюда форма Киллинга для gl (п, С) равна
(X, Y) = gsm, s>m>xsmys.m. = 2nTr (X • Y) - 2 Tr X Tr F. (13)
Множество si (n, С) по определению состоит из элементов gl (п, С), удовлетворяющих условию Tr X = 0; оно является идеалом в gl (л, С). Поэтому, согласно лемме 5 и формуле (13), имеем
(X, F)si („, о = 2лТг (X ¦ Y), X, F^si (л, С). (14)
Множество N — {?./{, л ? С, также является идеалом в gl (л, С). Форма Киллинга (13) равна нулю, когда X или F f N. Следовательно, скалярное произведение (13) для gl (п, С) вырождено. В разделе Г мы увидим, что форма Киллинга всегда вырождена для алгебры Ли, содержащей ненулевой коммутативный идеал.
Подмножество в si (п, С), состоящее из всех вещественных матриц, генерирует вещественную подалгебру si (п, R), комплексним Алгебры Jlu
31
расширением которой является алгебра si (я, С). Поэтому, согласно лемме 4 и равенству (14), форма Киллинга для si (я, R) равна
(X, У)S1 („. Я) = 2лТг(X ¦ У), X, У 6 si (я, Я). (15)
В частности, при я = 2 с базисом, заданным в примерах 1.1 и 1.4, находим (eh ej) = —26//-, і, /=1, 2, 3.
Г. Простые и полупростые алгебры JIu
Из множества всех алгебр Ли мы выделили класс разрешимых и нильпотентных алгебр. В этом разделе определим класс простых и полупростых алгебр Ли, играющих существенную роль в изучении структуры и классификации алгебр Ли.
Определение 3. Алгебра Ли L полупроста, если она не имеет ненулевых коммутативных идеалов.
Следующая теорема дает критерий полупростоты.
ТЕОРЕМА 7 (Картай). Алгебра JIu L полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырождена.
доказательство. Если алгебра L не полупроста, то она имеет коммутативный идеал N. Если Хт, X^, . . ., X-— базисные элементы идеала N, то структурные константы удовлетворяют условию (1.9) (индексы с чертой относятся к идеалу N), т. е.
