Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 107

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 153 >> Следующая


Лі/ = еА,-/. Б<= 1 ПРН »">0, (41)

— 1 при і<0.

В дальнейшем удобно рассматривать обе группы вместе. Поэтому в случае ортогональной группы мы переходим от декартовых координат Iі, t'=l, 2, ..., п, к «сферическим координатам» Xі, і = 2=1, ^2, ..., ±[п/2] (и если п нечетно):

?1 _ ?1_jfi2

X1 = , X'1 = , . . . , И X0 = если п нечетно.

Квадратичная форма (39) теперь принимает вид, аналогичный (40):

п

(X, у)= Yi SijXiHi, g4 = «і,

І, j—-Tl

Генераторы К) однопараметрических подгрупп удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

[X1h Xk,] = X1l-^Xkl+

[67';6-6W для 0(/i), [EiEjSj1X1Ii — EjEk&-iX~t' для Sp (2п).

Равенство

Xil = -Xilt І, /= 1, 2, . . ., п, (43)

для генераторов группы О (п) в декартовых координатах соответствует теперь следующему равенству:

Xі, = -XZl, і, І = -я, • • ., -Yn. (44)

Для генераторов группы Sp (2«) имеем соответственно

X) = г,-«-,-А'1, i, j = п..... ( и. (45)

Из коммутационных соотношений (42) следует, что операторы X1i коммутируют один с другим и соответствуют генераторам Hi из базиса Картана, в то время как генераторы X) при і > / соответствуют генераторам Ea, отвечающим положительным корням алгебры. Коммутационные соотношения для тензорного оператора Тк, который имеет те же трансформационные свойства, Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 315

что и X1i, задаются формулой [Xii, T1I\ = - біт* +

SJ1Tli -&іТї' для 0(п),

,и и (4о)

. ElBfi1Ttl - Є,Еьй-іП' для Sp (2п). В частности,

[Xij, т[\ = {\ +V4) [T1i-Tii), (47)

где знак — (+) соответствует ортогональной (симплектической) группе.

Используя теорему Гельфанда 3.1, легко проверить, что операторы

Cp = ? ••• X11P (48)

1X.....1P

являются инвариантными операторами для О (п) или Sp (2п), так как соответствующие полиномы (3.6) в дуальном пространстве являются инвариантами присоединенной группы. Мы вычислим спектры инвариантных операторов тем же методом, что и в случае группы U (п). Используем тот факт, что в пространстве Hm неприводимого представления, определенного старшим весом m = == (ть ..., mn) (п — ранг группы), вектор старшего веса яр,,, имеет следующие свойства:

XJtm = O для i>/, ^49J

XH'rn = ГПі\\,п.

На основе соотношений (44) и (45) получаем, что m_f = —m?. Представляя теперь инвариантные операторы (48) в виде

Cp=JKTlp-uYtXl,

где

(Tlp-nYt= Л Xii Х'л ... ХІР-*, (50)

1I.....У-2 ' 8 '

и используя (49) и (47), получаем

"Crfm = (S (T^YiX1l + S [(Tlp^Yh х{]) ч>т =

= .Е (т{ + 2п)(Т{р-1))1^т, (51)

где

1

'"'=4-2(1-6-/)- (52) 316

Г лава 5

Выражение (Tlp-1^ может быть вычислено рекурсивно: (7^?,,, = { (T^yiXii + ? \(Т{"-1% Х{) j =

= {tut (T^yi + ? (1 =P бLj) [(7^);: - (T^yj]} ъ



где

«/у = (h + «) ot/ - Oft I + E1) б,,

1 при /<1,

I1 = mt + rit Qji

(53)

О при / ^ і.

Константы а и ? для различных групп и явные выражения для г і даны в табл. 1.

Таблица 1

Алгебра Группа Инвариантная форма а P rC Значения, которые пробегает индекс
An-I1) SU(n) Tl S xI У І і=1 Я— І 0 и + 1 1,2.....п
2 2 1
Bn 0 (2п I 1) ІЗ І=—Il 1 1 1,2.....п, 0,—п, ... .... —2, —1
Cn Sp(2«) п ? (Xiy-' х-'у') 1=1 п — 1 (/i+l)E,- — i 1, 2, ..., п, ..'!,' -2, -1
Dn 0(2п) ? (xv-'+x-'V) ! 1 п— 1 1 іщ—; 1, 2, .... п, —п, ... -,-2, -1

') Для U (л) a, P и г. имеют те же значения, что и для SU (л).

Используя (51) и (53), мы получаем, наконец, Cpim1, m2, . . ., тп) = Тг(аРЕ).

(54)

Следовательно, нахождение спектров инвариантных операторов (48) сведено к элементарной задаче нахождения р-н степени известной матрицы а. Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 317

Используя формулу (54), легко вычислить, что спектры инвариантных операторов низших порядков групп О (2п), О (2п 1) и Sp (2п) имеют вид

С2 = 25г, С3=2 Г«--L(P-I)Icb

L z J (55)

C4 = 2S4 — (2a? + ? — 1) S2,

Sk = t Сі - (55)

i=i

Из (55) и (56) следует, что спектр оператора C2 имеет вид

C2 = 2 (m2 -{- 2гт). (57)

Он совпадает (с точностью до множителя 2) с результатом Рака, данным в (3.12).

Важная задача нахождения независимых инвариантных операторов, которые порождают центр обертывающей алгебры, может быть решена с помощью S-теоремы Рака, рассмотренной в разделе А. На языке переменных I1, I2, In эта теорема утверждает, что спектры инвариантных операторов инвариантны при действии группы Вейля S. В терминах переменных I1, I2, ..., In любой элемент s ? S для О (2п + 1) или Sp (2п) может быть представлен как перестановка чисел I1, ..., In и как произвольное число отражений:

Ii-*—Ii, Ij-* 1,, /=M-

Следовательно, спектры инвариантных операторов могут быть записаны с помощью симметрических полиномов четного порядка от переменных

I=I

или переменных

Sk = t (Ii - п), (58)

I=I

которые более удобны для практических вычислений (например, для тождественного представления т = (0, 0, ..., 0) из Sk = 0 сразу следует, что Cp = 0).

Следовательно, инвариантные операторы Cn с нечетным р зависимы и могут быть записаны в терминах операторов C2q 318
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed