Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
/=і /=і
где матрица atj имеет вид
а
и = (mi + « - 0 6<7 - Q//.
1 при /</, (17)
1 0 при і > /.
Последовательно понижая степень в Tf и используя (16) и тождество
п п
S Oii = m,. + n + 1 - 2/, S о,7 = mh (18)
1=1 /=1
получаем такой результат:
п
Cpim1, тг, . . ., тп) = ? (ар),,. (19)
/=1
Введя матрицу E с матричными элементами Eij = 1, i, j = = 1, 2, ..., п, мы можем переписать формулу (19) в виде
Ср(т1г ..., тп) = Тг(ор?). (20)
Следующая теорема дает удобную производящую функцию для спектра операторов Казимира Cp, р = 1, 2, ....
Теорема 2. Функция
С(г) = г-Ч1 -П(г)), z?C\ (21)
П<г> = Ц (1--^) (22)
Х( = тг + п-1, (23)
является производящей функцией для спектра операторов Казимира, т. е.
со
G(z)= ? Cp (тъ . . ., тп)гР. (24)
P=о
Доказательство. Элементарным методом треугольная матрица а = Jац\ может быть сведена к диагональному виду. Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 311
Поэтому мы можем выразить Ср(тг, ..., тп) с помощью собственных значений Xi матрицы а:
" " % _ % _ і
Cp (mi.....mn) = ? X? П ¦ 'х. Д. , (25)
1=1 /—і 4 і
ЧФП
Xi = ні; -}- п — і-
Далее мы можем упростить (25), используя следующее интегральное представление:
п
Cp («ъ . . ., mn) = ^j Xn П (1 - т^г) dX, (26)
где контур интегрирования окружает (в положительном направлении) все полюса X = Xi. При X = Z"1 имеем
п
Cd (mlt ..., тп) = ^f § -Ar П (1 - т^ ) • (27)
Из (27, слелует, что функция
п
П (г) = П (1 - ) = 1 - C0Z ¦ C1Z3 --..., C0 = п, (28)
при I Z I <5 1 /Xi имеет в роли коэффициентов разложения собственные значения следующих один за другим операторов Казимира. Следовательно, функция
G(Z) = Z-Ml-H(Z)] (29)
является производящей функцией для операторов Казимира, т. е.
G(Z)=SCpZP. (30)
P=O
Производящая функция (21) очень удобна для вычисления собственных значений произвольного оператора Казимира Cp. Чтобы проиллюстрировать ее силу, рассмотрим следующий пример.
Пример 1. Вычислим собственные значения операторов Казимира для полностью симметрического (/, 0, 0, ..., 0) или полностью антисимметрического {1*} представлений алгебры и (п). Фактически оба эти представления являются частными случаями более общего представления, характеризуемого старшим весом 312
Г лава 5
(ft f, ••¦> fi 0, ..., 0), k < п. Для этого более общего случая имеем
к раз
7 H-я— і при 1 < І < k,
^H • ^ (3D
1 n — l при 4
Из (22) и (31) следует Поэтому
п (2) = n^L^W-in-k^ (32)
Используя (30), находим
Cv 0.....0) = kf (/ -I- п - ky-\ (34)
к раз
Если в этом выражении положить k = 1, то получим спектры операторов Cp для полностью симметрического представления (Д 0, ..., 0). Если положить / = 1, k произвольно, k < п, то получим спектры операторов Cp для полностью антисимметрических представлений {1*} соответственно.
Формула (6) дает бесконечное число инвариантных операторов. Не очевидно, однако, что она дает все генераторы из центра Z обертывающей алгебры E для и (п).
В силу теоремы 3.2 алгебра и (п) имеет п независимых операторов Казимира. Можно ожидать, что первые п операторов Казимира C1, C2, ..., Cn, заданных формулой (6), порождают центр Z. В самом деле, элементарными вычислениями можно показать, что
Kj
Следовательно, для і < / имеем (Ki — Я,) > 0. Якобиан (35) положителен. Поэтому инвариантные операторы C1, C2, ¦¦¦, Cn независимы и их собственные значения однозначно определяют неприводимые представления группы U (п).
Б. Операторы Казимира группы SU (п)
Алгебра Ли Su (п) порождается операторами Aj, і + /, и операторами AJ вида
п *
A11 ^ A11-I-^1A11. (36)
г=і Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 313
Действие операторов А\ на старший вектор задается формулой (10):
A1iXpm = ^m1---Ir^j т' j ^m = tni^m'
Следовательно, применяя рассуждения, использованные для вывода формулы (19), получаем
С(ть . . т„) = І (а%, (37)
/=1
где
п
т ,
а = а--1, т = 2J
п i=i
и / обозначает единичную матрицу.
Следовательно, мы получим соответствующие выражения для
спектра инвариантных операторов Cps'0 группы SU (п), если во
всех формулах для С(ри) заменим числа т,- на числа
mt = т
ft
S=I
В частности, для представлений, определенных старшим весом (Л Ї, .... /, 0.....0), получаем
к раз
сГЧ/. I, ...,L о, ..., о)-
& раз
#(П+/)(П-Й) f Г (/+») (»—А) IP-I Г ^lP-1) ,ооч = n(n+f-k) 'Ц-Л-J -["""ТГ] Г
В. Операторы Казимира и их спектры для О (п) и Sp (п)
1. Ортогональная группа О (п) состоит из всех линейных преобразований n-мерного евклидова пространства En, которые сохраняют квадратичную форму
(Є1)2 + (і2)2 4-----h№")2= 1. (39)
Симплектическая группа Sp (2п) образована из всех преобразований 2п-мерного комплексного пространства C2n, которые сохраняют билинейную форму
п п
[х, і/1== Ц W = E (XiIfi - X-iIf). (40)
і. j—-n і 1 314
Г лава 5
где метрический тензор hij имеет вид
О при і = О,
