Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
теорема з (s-теорема). Пусть С — любой инвариантный оператор, a Hm — пространство неприводимого представления Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 307
алгебры L, определенного старшим весом т. Tогда собственное значение С (пі) оператора С, записанное в терминах k = т г, инвариантно при преобразованиях из группы Вейля, т. е.
С (Sk) = С' (k) для всех S С- W, (15)
где
С' (к) = С (/г — г). (16)
Доказательство. Характер ут (g) = Dpp (g) является собственной функцией для произвольного инвариантного оператора. Поскольку след матрицы Dm инвариантен при преобразовании подобия Dm (g) ->- Dm (g') Dm (g) Dm (g'1), то характер (g) полупростой группы Ли является функцией на классах сопряженных элементов и принимает форму Вейля (8.8.25). Из формулы Вейля видно, что характер у"1 (б) левоинвариантен при преобразовании S: k —>- Sk, за исключением возможной смены знака. Следовательно, собственное значение
С'ут (б) = С' (k) %т (б)
инвариантно при преобразованиях из группы Вейля.
Эта S-теорема полезна при определении явного вида спектров операторов Казимира для полупростых групп Ли и будет использоваться в последующих разделах.
§ 4. Операторы Казимира дня классических групп Ли
А. Операторы Казимира и их спектры для U(n)
Рассмотрим сначала группу U(п). п X n-Матрицы и ? U(n) удовлетворяют условию и*и = 1. Следовательно, п2 генераторов Mf, і, к = 1,2, ..., п, однопараметрических подгрупп удовлетворяют условию
(мїУ = мі (і)
Однако поскольку коммутационные соотношения для генераторов Mt не имеют симметрического вида, обычно переходят к алгебре Ли gl (n, R), коммутационные соотношения которой имеют вид
[А'„ AU^btlAl-61 Atl. (2)
Если генераторы Aki удовлетворяют условию (Af)* = АІ, то /г2 независимых эрмитовых генераторов, удовлетворяющих условию (1), задаются формулами
Mkk = Al, k= 1, 2, . . ., п,
M1k = A1k + Akl, k<l<n, (3)
Mkl = і (A1ll- A4), k<l^n. 308
Г лава 5
Если элемент F обертывающей алгебры E удовлетворяет условию
[F, Л?] = 0 для всех і, к,
то в силу (3) он также удовлетворяет условию
[F, Mki] = 0, i, k= 2, . . п.
Следовательно, задача построения инвариантных операторов для и (п) сводится к этой задаче для gl (п, R). Последняя задача может быть легко решена с помощью теоремы 3.1. В самом деле, используя (3.8) и присоединенное представление алгебры gl (п, R)
V(M)] -<\-,<Vs, (4)
получаем
= Ь'МФ ... б!"-1. (5)
1I 12 3 1P 4 '
Следовательно, согласно (3.7), инвариантные операторы имеют вид
ср=ё№ ... {»луА'*... л;>=
P Sf1I2 Ip I1 I2 Ip
= а\\№... A^A1iPv р=1,2,.... (6)
Следующие две теоремы дают вид спектров инвариантных операторов (6) в пространствах неприводимых представлений. Заметим, что использование тензорных операторов значительно упрощает доказательство теоремы 1.
ТЕОРЕМА 1. Пусть Hm — пространство неприводимого представления группы U (п), определенного старшим весом т = = (mlt ..., тп). Тогда спектры инвариантных операторов (6) в Hm имеют вид
Ср(тъ ..., тп) = Tr(WE), (7)
где матрица а = {?,/}, і, j — 1, 2, ..., п, такова: а і j = ('ГЦ + п — і) б(;- — Qij,
1 при і < /, (8)
0 при і > /;
ар — р-ая степень матрицы a, a E — матрица, все матричные элементы которой равны 1.
Доказательство. Чтобы вычислить спектры инвариантных операторов Cp, р = 1, 2, ..., п, мы используем идею, которую
Qu = Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 309
Рака использовал для вычисления спектров оператора Казимира C2 произвольной простой группы Ли 1см. (3.10)—(3.12)]. Напомним связь между генераторами А\ и генераторами Картана—Вейля Hh Ea [см. (1.4.10) и (1.4.11)]:
H1= Al і = 1, 2, . . ., п,
E(erek) = Al i + k, (9)
где е і = (0, 0, .... 1, ..., 0,0), і — 1, 2, ..., п, — ортонормиро-(0
ванные векторы в R'1. Следовательно, генераторы Al і >k, сопоставляются с положительными корнями алгебры и (п), и они играют роль повышающих операторов.
Рассмотрим теперь неприводимое представление алгебры и (п), которое определяется старшим весом m = (mlt ..., т„), и обозначим через грт вектор старшего веса. Поскольку при і > / операторы А'{ являются повышающими операторами, мы получаем
Л/фт = 0, і >/. (10)
Перепишем теперь (6) в виде
Cp = (Tp-JiM, где (T4)) a JtllAtI • • • а',"-1. (11)
Оператор (Tp^iYl- имеет те же трансформационные свойства относительно U (я), что и Апоэтому он является тензорным оператором. Следовательно, в силу соотношений (1.9) и (2)
14 (т„Л\ = ь) (трЛ)\ - ь\ (T^1)';-, (12)
(Тр-л))\\-т 0 IlpH i<J. (13)
Из (10), (11) и (13) следует
Il
СрУрт = S {Tp-\)liA1I^m + ? [(TVi)l, А)] фга = I=1 і, і
= {І (Tp-і){л{ + S (Тр-Уі - (Тр-іУі } фт (14)
11 ;>/ J
[в (14) суммирование по повторяющимся индексам не производится ].
Используя соотношение A tyin = fHitymt находим
п
CAm = S {rnt I n-I- I - 2г) (Tp-Ohrr (1 5)
1=1 310
Г лава 5
Величина (Гр-і)' я|зт может быть вычислена рекурсивно. Именно используя (11)—(13), получаем
(Tq)km = ? (Т^))Щт = І ач (Т^У]х\т, (16)
