Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Ji-tIXli ... X1,, S = 0,1,.... (1)
1J В дальнейшем для простоты произведение Xi ... X. обозначаем как
1 1S
Xi ... Ai .
1I 1S 304
Г лава 5
Элементы Xі ... Xis представляют собой тензорные операторы относительно присоединенного представления (или присоединенной группы). Следовательно, задача построения инвариантов алгебры E сводится, согласно теореме 1.1.2, к задаче поиска подходящих инвариантных тензоров gli--ls, В самом деле, имеет место следующая теорема.
TeOPEMA 1 (Гельфанд). Для того чтобы элемент P P = CH-Zg1Xi + YiglkXiXk^ ? ^iXiXkXrI-... (2)
I i, к і, к, j
универсальной обертывающей алгебры E лежал в центре Z алгебры Е, достаточно, чтобы коэффициенты
gl, gik, gik>\ ... (3)
были инвариантными тензорами для присоединенной группы Ga. Если, кроме того, P записано в таком виде, что коэффициенты gik, glki, ... симметричны, то это условие также необходимо.
Доказательство.Обозначим через Pr элемент lrXi ...Xlf. Тогда в силу инвариантности тензора glполучаем
Ad gPr = gPrg-1 = g'i ¦' ¦ lr П Ad gXik =
= ^ -tV U(M8)1JXll = Pr.
k~ 1 "
Взяв g = ехр (tXi) и перейдя к инфинитезимальной форме в приведенном равенстве, получаем
[Р„ XiI = O.
Это заключает в себе первую часть теоремы 1. Пусть теперь тензоры (3) симметричны. Тогда в силу (2.8) каждый элемент Pr из (2) может быть записан в виде
Pr = t S ,.^-Sv-M-
1..... г
Если P ? Z, то Pr ? Z и [Pn Xi] = 0. При произвольном g = ехр (tXі) отсюда следует
gPrg'x = AdgPr = Pr.
Поэтому
г
g'i-'r П (Adgpel. . , =gl 1- tTeii , ё,1к Uf-Ik} o l'l ¦¦ lr]
Следовательно, каждый тензор (3) должен быть инвариантным для Ga. Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 305
Задача явного построения инвариантных операторов для полупростых алгебр Ли впервые рассматривалась Казимиром 1175]. Используя метрический тензор Картана gik в L, он построил оператор второго порядка
C2 = BikXiXh (4)
который в силу (1.2.18) удовлетворяет соотношению
IC2, X J = ^k [Xi, XlIXlc I gikXi [Xln X1] = (clils^Cslll) XsXk = 0.
Чтобы понять свойство инвариантности оператора (4) с точки зрения теоремы 1, заметим, что, согласно (1.2.8), тензор gik может быть записан в виде
gik = Iv XiXk, (5)
где Xi = —Ci = {—Сц\ — присоединенное представление алгебры Ли L, определенное структурными константами. Элементы присоединенной группы переводят каждый элемент X1
в gXig'1 и, следовательно, оставляют тензор (5) инвариантным. В силу теоремы 1 отсюда следует, что оператор (4) инвариантен для L.
Инвариантные операторы высших порядков теперь строятся непосредственно. Действительно, по той же причине тензор
gti ( =TrXiXl ... X1 =C1Vh ••• cIp I c\li (6)
ti 2 -1o 1i 2 1P Vl V2 1P-I1P-I 1P1P
является инвариантом присоединенной группы. Поэтому в силу теоремы 1 операторы
Cp = gcA ... ,X1IXt' • • • XiP, р = 2, 3, . . ., (7)
являются инвариантами обертывающей алгебры Е.
Для построения инвариантных тензоров (6) мы можем использовать конечномерные представления X -v V (X) заданной алгебры Ли. Действительно, если
«<л-¦¦', = Тг ^ (*<.) ••• у(х*Л <8)
то присоединенное представление X gXg~ 1 предполагает, что
= Tr (VgV (Xfj) Vg1 ••• I7gIZ(Xfp)Kg-) =
= Tr (V(Xli) ••• У (Xip)) - BilI2... /,„ (9)
т. е. тензор (8) инвариантен. Мы используем этот факт для построения независимых инвариантных операторов для произвольных полупростых групп Ли. В приложениях важно знать минималь- 306
Г лава 5
ное число инвариантных операторов, которые порождают центр Z обертывающей алгебры Е. Следующая теорема дает решение этой задачи для полупростых алгебр Ли.
теорема 2. Для каждой полупростой алгебры Jlu L ранга п существует множество п инвариантных полиномов от генераторов Xi, собственные значения которых характеризуют конечномерные неприводимые представления.
(Доказательство см. в [185].)
Задача нахождения явного вида спектров инвариантных операторов имеет большое значение, в частности для приложений. Эта задача может быть легко решена для инвариантных операторов второго порядка полупростых алгебр Ли. В стандартном базисе Картана—Вейля алгебры L оператор C2 из (4) имеет вид
C2 = E UikHiHk + ? EaE(10)
t=l а
Когда этот оператор действует на вектор старшего веса и:п неприводимого представления, в силу условия EaUm = 0 для положительных корней [см. (8.8.5)] получаем
C2Um = ( glllHilHtk I E [?«> ! иш ^= Г- Ь S (а, т) ] Hm. (11)
I а>0 j L а>0 J
Из теоремы 8.8.1 мы знаем, что каждое неприводимое представление характеризуется компонентами старшего веса m = (шь т2, ..., mn). В силу леммы Шура каждый инвариантный оператор в пространстве неприводимого представления пропорционален единичному оператору, т. е. Ci = KiI. Число Ki является функцией компонент старшего веса т = (mlt т2, ..., тп) и представляет собой спектр оператора Казимира Ci, т. е.
C2 (т) = m2 -f- 2гт, (12)
а>0
и суммирование ведется по положительным корням. Тогда при k = т + г мы имеем
C2 (/г) = /г2 -г2. (14)
В таком виде собственное значение оператора Казимира C2 инвариантно относительно действия группы Вейля k -*- Sk. Это справедливо для всех инвариантных операторов. Действительно, имеет место следующая теорема.
