Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
ЩІк>T (X) U{aA) = T (А'1 (х - а)). (24)
Примером тензорно-полевых операторов могут служить токи \jk W}, которые преобразуются по прямому произведению 00П группы внутренних симметрий G (как, например, SU (2) или Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 301
SU (3)) и группы Пуанкаре П. Трансформационные свойства операторов (л;)} имеют вид
Ufft (X) Ue = Dwk (g-1) fk. (х), g?G, (25)
ЩІК)Л W U(CA) = (Л)1Ш (А-1 (х - а)), (а, А) (= П. (26)
§ 2. Обертывающая алгебра
Пусть L — алгебра Ли над K-R или С. Пусть т — (свободная) тензорная алгебра над L, рассматриваемая как векторное пространство, т. е.
T = Sxr = ZCeLe (L ® L) ф (L ®L® L) ф. ... (1)
г=0
Векторное пространство т является ассоциативной алгеброй с абстрактным законом умножения, заданным тензорным произведением ®. Пусть J — двусторонний идеал в т. порожденный элементами вида
X®Y-Y®X-[X,Y], где X, Y^L. (2)
Тогда фактор-алгебра E = т/J называется универсальной накрывающей алгеброй алгебры Ли L. Ясно, что обертывающая алгебра ассоциативна.
Пусть я: Z->- Z + J = Z, Z ? Е, обозначает каноническое отображение (т. е. естественный гомоморфизм) из т на Е. Ясно, что и (Z1 ® Z2) = я (Z1) я (Z2) = Z1Z2 *). Векторное подпространство в Е, натянутое на элементы Xii Xi^... Xir, Xik ? Lt порядка г будет обозначаться через Er. Элемент
((п(Х), Jt(У)]- Jt [X, Y]), X, Y^L, (3)
является образом элемента (2) при каноническом отображении и, следовательно, равен нулю. Ясно, что каноническое отображение я алгебры т на E индуцирует линейное отображение из LbE.
Пусть X-+ T (X) — представление алгебры Ли в векторном пространстве Н. Формула
T (Xli ® Xii ® ... ® Xlf) = T (Xii) T (Xi2) ... T (Xlr) (4)
однозначно определяет представление T ассоциативной алгебры а)
') Для простоты мы будем опускать символ умножения в Е. 2) Построение плотной инвариантной области определения для операторов (4) дано в гл. 11, § 2. 302
Г лава 5
ЕвН. Ясно, что T (X) = T (X) для X из L. Более того,
f(X®Y-Y®X-{X, F]) =
= T(X)T(Y)-T(F)T(X) — T([X, F]) = 0.
Таким образом, каждое представление T алгебры L может быть расширено до представления T универсальной обертывающей алгебры E алгебры L.
Базисы в обертывающей алгебре
Мы построим два удобных базиса в Е. Заметим сначала, что если X1, X2, ...,Xn — базис в L, то на одночлены
Xt-Xl2 ••• X,r, Xlk-=U(Xlk), (5)
натягивается пространство Er. Используя соотношение IX1, хг1 = ca-Xi для базисных элементов алгебры LbE, мы можем привести (5) к стандартному одночленному виду
••• ГДе /1</2< ••• <ir (6)
(с точностью до введенных элементов (5) из Er"1). Тогда элементы (5) из Ег~~г в свою очередь могут быть сведены к стандартному виду (6). Таким образом, вместо пг элементов, на которые натягивается Er, мы получаем
(я+ 1--1)1 т
(п — 1)\г) к '
элементов, на которые натягивается Er. Например, пространство Rs, сопоставляемое с алгеброй Ли su (2), содержит 10 базисных элементов вида (6) вместо 27 элементов вида (5). Взяв набор векторов (6) из E0, E1, E2, ..., мы получаем множество \е{ t jr] і j < і2 < ... < і r, г = 0, 1, 2, ...}, на которое натягивается Е. Мы оставляем как упражнение для читателя доказательство того факта, что элементы (6) линейно независимы. Базис (6) в E называется базисом Пуанкаре—Биркгофа—Витта. Элементы (6) могут
быть также записаны в виде ety .«,. = Х^Хг2 ... Xn", где
h + fta + • • • + К = г.
В приложениях удобно использовать следующий симметрический базис в Е.
Утверждение 1. Пусть L — алгебра Jlu с базисом X1, X2, ..., Xr Элементы
е[ V2 - iA = TT S а) • " W r = ¦ • •• Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 303
где ік = 1, 2, ..., dim Lua пробегает еее перестановки множества (1, 2, ..., г), образуют базис в универсальной обертывающей алгебре E алгебры L.
Доказательство. Элементы
Xii • •• Xir-Xic (1) ... Xic (Г) (9)
из Er можно выразить через элементы из Ег~1, если использовать коммутационные соотношения XtXfc = XfcX1- + CikXh Если просуммировать (9) по всем перестановкам а, то получим
Xii •¦• Xtr = Crli... гг) -[-выражения из Er'1.
Повторяя теперь этот процесс для выражений из Er-1, Ег~2 и т. д., находим
dim L
Xii ... Xlr= S /1"" Vi-'*}- (1°)
1I' 2.....Ч=1
Отображение о: ^lj;,..eJiy2. .<у, устанавливает взаимно однозначное соответствие между базисными элементами (6) и симметрическими элементами (8). Поэтому элементы (8) также образуют базис в Е.
Центром Z универсальной обертывающей алгебры E является множество всех элементов С в Е, которые удовлетворяют условию
[С, X] = 0 для всех X из L. (11)
Одной из основных задач теории представлений является нахождение центра Z и определение спектра элементов из Z в пространствах представлений. Для полупростых алгебр Ли эта задача решается явно в § 4 и в § 6, А.
§ 3. Инвариантные операторы
Мы описываем здесь общие свойства инвариантных операторов произвольных алгебр Ли.
Согласно (2.6), любой элемент обертывающей алгебры E заданной алгебры Ли L может быть записан как сумма элементов вида х)
