Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
1) Для групп Ли соответствующая теорема справедлива локально, но не глобально (см. [122]). .<26
Глава 1
сведена к более простой задаче перечисления всех неизоморфных линейных подалгебр Ли алгебры gl (п, С).
Рассмотрим теперь наиболее важные классы алгебр Ли.
Б. Разрешимые и нильпотентные алгебры
Пусть N — идеал алгебры L, тогда IN, N1 — также идеал в L. Действительно, согласно (1.4в) имеем
IL, [N, N]] ClN1 IN, L]] -f- [N, [L, JV]] <= [N, N]. (1)
В частности, L — идеал в L, поэтому [L, L] также есть идеал, который может быть меньше чем L. При этом может случиться, что последовательность идеалов
L0 = L, L<x> = IL0, L0], . . ., L(n+1) = [L<">, L<">], л = 0, 1, 2,...
(2).
обрывается, т. е. L<"> = 0 для некоторого л.
Определение 1. Алгебра Ли L называется разрешимой, если для некоторого положительного целого л L<"> = 0.
Пример 1. Рассмотрим алгебру Ли е (2) группы движений вещественной двумерной плоскости, состоящей из двумерных трансляций и вращений вокруг оси, перпендикулярной к плоскости. Генераторы этой группы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[X1, X2] = 0, [X1, X3] = X2, [X8, X2] = X1.
Мы видим, что
L(1> == t2 (алгебра Ли с базисными элементами X1 и X2),
L<2> = 0.
Следовательно, е (2) разрешима.
Свойство разрешимости алгебры Ли наследственно в том смысле, что каждая подалгебра Ls также разрешима. В самом деле,
L'1'- [L<°\ Ln
является идеалом в Ls, удовлетворяющим Liu с Lm. Значит, L[n) с L(n) = 0, т. е. Ls — разрешимая алгебра. Очевидно также, что всякий гомоморфный образ разрешимой алгебры разрешим. Более того, если алгебра Ли L содержит разрешимый идеал N, такой, что фактор-алгебра LIN разрешима, то L также разрешима.
Всякая разрешимая алгебра содержит коммутативный идеал. Действительно, если L<"> = 0, a L*"-1) ф 0, то L<"-J> — идеал в L и [Lf-1), Lc-D ] = 0.
Введем следующую последовательность идеалов:
L(O) = L, L(i) = [L(0), L], . . ., L(n+i) == [L(n), L]. (3) Алгебры Jlu
27
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Алгебра Ли называется нильпотентной, если для некоторого положительного целого п L(n) = 0.
При помощи индукции легко проверить, что L("> CZ L(n). В самом деле, L(0> = L(o,, и если L(n> cz Lw, то
= [L(B)f L<»>] cz [L(„>, L] с= Lj,;+!).
Таким образом, нильпотентная алгебра является разрешимой. Обратное не верно: например, двумерная некоммутативная алгебра Ли, определяемая коммутационным соотношением
[X, К] = X,
разрешима, но не нильпотентна. Аналогично алгебра Ли е(2) из рассмотренного выше примера 1 разрешима, но не нильпотентна.
Как видно из определения, всякая подалгебра и всякий гомоморфный образ нильпотентной алгебры нильпотентны.
Всякая нильпотентная алгебра обладает нетривиальным центром. В самом деле, если Lw = 0, a L(„_0, то ввиду (3) lL(n_i), L] = 0, т. е. L(n-i) — центр алгебры L.
Согласно теореме 1, всякая алгебра Ли изоморфна некоторой линейной подалгебре полной линейной алгебры gl (п, С). Поучителен вид этих линейных матричных алгебр, соответствующий разрешимым и нильпотентным алгебрам.
Пусть Т('") обозначает векторное пространство всех верхних треугольных т х m-матриц, a S(m> — векторное пространство всех верхних треугольных т X m-матриц с равными диагональными элементами. Пусть S^"'1'-"2.....m^ обозначает множество
всех линейных преобразований А, действующих в пространстве
V = IZ1 + !/, + . . .+IZfe
таким образом, что
1) A ^ S("'y "'2' • ¦ - • mk) оставляет подпространства Vi, і = = 1, 2, ..., k, инвариантными,
2) в каждом подпространстве Vt с базисом ^0, .. 1т], A ? имеет вид
К со
к aIk
о 'K1
Коммутаторы треугольных матриц являются также треугольными
матрицами. Поэтому векторные пространства Т{т) и S^'"1' .....m^
представляют собой алгебры Ли. Более того, справедлива следующая теорема. .<28
Глава 1
Теорема 2. Произвольная разрешимая алгебра Ли линейных преобразований изоморфна подалгебре некоторой алгебры Ли 7,('">. Произвольная нилыютентная линейная алгебра Ли изоморфна подалгебре некоторой алгебры Ли S^"'1' "'2' " ' (Доказательство см. в 1237], § 2).
Предыдущие утверждения относительно нильпотентных и разрешимых алгебр теперь могут быть легко проверены для треугольных матриц.
В. Форма Киллинга
В (1.29) мы ввели гомоморфизм X —> ad X при помощи соотношения
adX(F) = [X, Y\.
В координатах имеем
(ad X (Y))' = [X, VT = c\kxlyk,
т. е.
(ad Xi=CilkX1. (4)
Определим теперь «скалярное произведение» в алгебре Ли, полагая (X, Г) = Tr (ad X ad Г). (5)
Скалярное произведение (5) обладает следующими свойствами:
1) симметричность (X, Y) — (Y, X), (6а)
2) билинейность (aX + ?F, Z) = a(X, Z) j-?(F, Z) для всех X, Y, ZQL и a, ? — вещественных либо комплексных чисел,
(66)
3) (ad X (Y), Z) + (Y, ad X (Z)) = 0, или ([X, Y), Z) + (Y, [X, Z]) = 0.
(6в)
Эти свойства следуют непосредственно из свойств следов. Например, пусть
a = (ad X (F), Z) = Tr{ad([X, F]) ad Zj =
= Tr (ad X ad F ad Z) - Tr (ad F ad X ad Z), b = (Y, ad X (Z)) = Tr {ad F (ad [X, Z])} =
