Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Приводимое ниже доказательство теоремы (4.5.2) принадлежит Эбер-лейну и основано на следующей элементарной лемме.
А А* = А
p(A) = аоAn + ?1Ara_1 + ... + а„ , ?j Є R1.
Тогда
Hp(A)H < sup{|p(A)| | |A| < ||А||}. (4.106)
Доказательство. Фиксируем вектор x Є H, HxH = 1. Пусть Hx = span{x , Ax , ... , Anx}. По построению размерность пространства Hx конечна:
dimHx < n +1 Hx
H
H = Hx 0 H^.
P Hx
P2 = P , V(x Є H) : Px Є Hx , V(x Є Hx) : x = Px.
По определению оператора проектирования, справедливы равенства:
(x Є Hx) =>- (x = Px),
(Ax Є Hx) = (Ax = PAx = PAPx)
(A2x Є Hx) = (A2x = PA2x = PAAx = PAPPAPx = (PAP)2x) (Anx Є Hx) = (Anx = (PaP)nx).
310
Следовательно,
p(A)x = p(PAP )x.
Оператор PAP действует в конечномерном гильбертовом пространстве Hx, и согласно (4.105)
j <x, p(A)x > j = j <x, p(PAP)x > j < \\p(PAP)\\
< sup{jp(A)j j A Є a(PAP)} < sup{jp(A)j j jAj < \\A j H\\}. (4.107)
x
sup{j <x,p(A)x > j j jHxH < 1} = \\p(A)\\ < sup{jp(A)j j j A j < \\A j H\\}. Лемма доказана.
Заметим, что доказательство этой леммы опирается только на свойства эрмитовых операторов в конечномерном унитарном пространстве.
Замечание 4.5.1. Из доказываемой ниже теоремы (4.5.2) следует, что для
A
(4.105).
В дальнйешем мы будем опираться только на неравенство (4.106), поэтому читатель может сразу перейти к следствию 4.5.1 на стр. 314.
Ниже мы докажем несколько утверждений, которые по смыслу близки лемме 4.5.1 и которые полезно знать.
A P( A)
-полином, с действительными коэффициентами, то
\\p(A)\\ = sup{jp(A)j j A Є a(p(A))} = sup{jp(A)j j A Є a(A)}. (4.108)
P( A)
P( A)
289) справедливо равенство
\\p(A)\\ = sup{jAj j A Є a(p(A))} = sup{jAj j A Є p(a(A))} = sup{jp(A)j j A Є a(A)}.
Лемма доказана.
Заметим, что при доказательстве этой леммы мы существенно использовали теорему об отображении спектра и свойства спектрального радиуса. Если читатель усвоил эти понятия, то в последующих рассуждениях он может использовать лемму (4.5.2) вместо леммы (4.5.1) и тогда можно последующие расуждения сделать более точными: во всех оценках отрезки [—\\A\\ , ЦA\\] можно заменить на компакт a(A).
Ниже дается доказательство леммы, которая полезна и в многих других приложениях.
311
Лемма 4.5.3. Если AuB -ограниченные коммутирующие:
AB = BA
неотрицательные самосопряженные операторы, то оператор AB самосопряжен и неотрицателен.
Доказательство. Самосопряженность оператора AB вытекает из равенства
(AB)* = B*A* = BA = AB.
Докажем неотрицательность оператора AB. Не ограничивая общности, в дальнешем мы будем считать, что
0 < A < id.
Построим последовательность операторов Очевидно, что
A0 = Л , A(n+1) = An — ЛП.
Vn : AnB = BAn.
Докажем, что
Vn : 0 < An < id. (4.109)
Доказываем по индукции. Если
0 < An < id,
то
An(id — An) > 0 , An (id — An)2 > 0,
так как
< / , An(id — An)/ >=< An/ , (id — An)An/ >> 0,
< / , An(id — An)2/ >=< (id — An)/ , An(id — An)/ >> 0.
Вычисление показывает, что
A(n+i) = An(id — An) + An(id — An)2.
Следовательно,
A(n+i) > 0.
312
id — An > 0,
Если
то
id — A(n+i) = id — An + An > 0.
Неравенство (4.109) доказано. Так как
An = An — A(n+1),
то
j] A2. = Л — A(n+1) < Л. (4.110)
0<m<n
Следовательно,
V/ : </,An/>— 0 ,n — то. Из этого утверждения и поляризационного тождества следует, что
V(/ є H,g є H): </,Ang>— 0 ,n — то.
Ho тогда из (4.110) следует, что
Vn : </,AB/>= j] </,A^B/> + </,A(n+1)B/>=
0< 2 < n
j] < Am/ , BAm/ > + < / , A(n+1)B/ >—
0< 2 < n
j] <Am/,BAm/>> 0, n — то.
0< 2< o
Лемма доказана.
Из этой леммы лего следует утверждение.
Пусть A -ограниченный самосопряженный оператор. Положим
а = inf{< / , Л/ >| ||/1| = 1} , b = sup{< / , Л/ >| || /1| = 1}. (4.111)
Лемма 4.5.4. Если p(A) -такой, многочлен с действительными коэффициентами, что
V(A є [а, b]) : p(A) > 0,
то
P(A) > 0.
Доказательство. Справедливо равенство
P(A) = П (A — «j)(/? — A)(A — ci)2((A — ^)2 + Ъ2),
313
где
aj < a, ?k > b , ші Є [a,b] ,Ys Є R1,as Є R1. Отсюда следует, что P(A) = П (A - аid)(?kid - A)(A - шіid)2((A - asid)2 + y2sid). (4.112)
Каждый сомножитель в (4.112) -неотрицательный оператор. В силу леммы 4.5.3 их произведение есть неотрицательный оператор. Лемма доказана.
Теперь докажем утверждение, которое уточняет лемму (4.5.1). Лемма 4.5.5. Справедливо неравенство
Hp(A)H < SUpMX)W X Є [a,b]}. (4.113)
Доказательство. Пусть
c = su.p{\p(X)\ \ X Є [a , b]}.
Справедливо неравенство
V(X Є [a, b]) : c±p(X) > 0.
В силу леммы 4.5.4 отсюда следует неравенство
V((J) Є H): <ф, (c±p(A))<f)» 0,
которое эквивалентно неравенству (4.5.5).
На полиномах p(X) с действительными коэффициентами определим отображение
OpbA : p(X) ^ OpbA(p(X)) = p(A). (4.114)
Из леммы 4.5.1 вытекает
Следствие 4.5.1. Отображение OpPbA переводить фундаментальные в метрике C([-HAH , HAH]) поледовательности полиномов в фундаментальные в метрике L(H — H) последовательности операторов и по-
C([-| A| , | A| ])
в пространство L(H — H): если f Є C([-HAH , HAH]) u 6 метрике про-C([-| A| , | A| ])
f (X) = lim pn(X),
