Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
4.4.4 Ядерные операторы.
Определение 4.4.4. Компактный оператор A є L(H — H) называется ядерным, если сходится ряд из его характеристических чисел:
||A | Ncl|| := Sj(Л). (4.97)
1<j<oo
305
Позже мы докажем, что правая часть (4,97) удовлетворяет условиям нормы. Определенная равенством (4,97) норма называется ядерной (или следовой) нормой.
Множество всех ядерных операторов мы обозначим символом NcL
A
для, какой-либо полной, ортонормированной, системы, {ej | 1 < j < оо) сходится, ряд
/2 <ej, |A|ej > (4.98)
1 < j< o
Если, ряд (4,98) сходится, для, какой-либо полной, ортонормированной системы, то он сходится для любой полной ортонормированной системы, его сумма не зависит от выбора полной ортонормированной системы, | A| 1/2
ство
||A | Ncl|| = |||A|1/2||2 (4.99)
Доказательство. Справедливо равенство
E <ej, |A|ej >= ^ < |A|1/2ej, |A|1/2ej >= |||A|1/2 | HS||2.
1 < j< o 1 < j< o
Отсюда следует независимость суммы ряда (4.177) от выбора полной ортонормированной системы. Для доказательства равенства (4.99) достаточно выбрать полную ортонормированную систему так, чтобы она
| A|
Замечание 4.4.2. Мы видим, что из сходимости ряда (4.98) следует, что A
оператор. Отметим, что
Nc/ С HS.
A
он есть произведение двух операторов Гильберта-Шмидта.
A
A
A = U|A| = U|A|1/2 • |A|1/2,
где операторы U|A|1/2 и |A|1/2 есть операторы Гильберта-Шмидта.
A є HS , B є HS AB є {ej , 1 < j <
о) H
(4.57) следует, что
|AB | = U-B Pab AB,
306
где Uab - унитарный оператор, входящий в полярное разложение оператора AB, Поэтому
< ej, |AB|ej >=< ej, U-1PABABej >=< A*(U-1PAB)*ej, Bej > .
HS
видим, что
Y < ej, |AB|ej >= HS(А*(и_1РАБ)*, B) < оо. (4.100)
1<j<oo
Теорема доказана.
Теорема 4.4.15. Множество ядерных операторов NcI есть линейное
L(H — H)
ция А — НА | NcIH удовлетворяет условиям нормы:
V(A, В Є Ш) : HzA | Nc/И = |z|||A | Nc/И, НА + В | Nc/И < НА | Nc/И + HB | Nc/И.
Относительно нормы (4.97) пространство ядерных операторов есть банахово пространство.
Доказательство. Однородность определенной правой частью равенства (4.97) функции очевидна. Докажем, что
(А є NcI, В Є NeI) ((А + В) Є Nd).
{ej , 1 < j < о}
H
|А + В| = U^+B)P(A+B)(A + В), поэтому
< ej , |А + B|ej > = < ej , U("A+B)P(A+B)(A + В)ej > =
< ej, U-1+B)P(A+B)Aej > + < ej , U(A+B)P(A+B)Bej > ^ (4.101) Далее имеем:
< ej , U("A+B)P(A+B)Aej > = < ej , U(-41+B)P(A+B)UA|A|1/2|A|1/2ej > =
< (U(A+b)P(a+b)Ua|A|1/2)*ej, |A|1/2ej >,
307
следовательно,
Y <ej , U{2+B)P(A+B)Aej >
<
1 < j< o
Y < (U^+b)P(a+b)Ua\A\1/2)*ej, \A\1/2ej >
1 < j< o
|HS((U-a1+b)P(a+b)Ua\A\1/2)* , \A\1/2) ^(U[a1+b)P(a+b)Ua\A\1/2)* \ HSII • |HA^2 \ HS|| < IIA1/2 \ HS||2 = ||A \ NdI
Аналогично оценивается второе слагаемое в (4,101). Из (4,99) следует, что
||A + B \ NcIH < HA \ NcIH + ||B \ NcIH.
Полнота пространства ядерных операторов относительно ядерной нормы доказывается дословным повторением доказательства полноты пространства операторов Гильберта-Шмидта. Теорема доказана.
Теорема 4.4.16. На пространстве ядерных операторов корректно определен функционал
V(A Є Nd) : tr(A) := Y < ej , Aej >
1<j<o
(4.102)
Правая часть (4.102) не зависит от выбора полной ортонормированной системы {ej , 1 < j < то} и оперделенный равенством (4.102) функционал удовлетворяет условиям:
1 V(A, B Є HS) : tr(AB) = tr(BA). 2. \tr(A)\ < ||A \ NdH
(4.103) (4.104)
A
получаем:
Y <ej, Aej >= Yl < ej, U\A\ej >=
1<j<o 1<j<o
Y < (U\A\1/2)*ej, \A\1/2ej >= HS((U\A\1/2)*, \A\1/2).
1<j<o
Отсюда следует абсолютная сходимость ряда (4.102) и независимость его суммы от выбора ортонормированной системы.
308
Далее имеем:
tr(AB) = Y <еі, ABej >= Y < A*ei, Веі >-
l<j<oo 1<j<00
< ej , Aei >< ві, Bej > .
<
1<j<oo , 1<i<oo
Выписанное равенство доказывает равенство (4,103).
Для доказательства неравенства (4,104) выберем полную ортонорми-рованную систему так, чтобы она включала в себя систему собственных функций оператора JAj. Тогда получим:
l < j< o
Y <ej, UjAjej >
l < j< o
<
Y Sj(A)j <ej ,Uej > j<\\A j HS\\.
l<j<o
Теорема доказана.
Определенный равенством (4.102) функционал называется следом оператора.
4.5 Спектральное разложение ограниченных самосопряженных операторов.
Наша цель состоит в доказательстве теоремы 4.5.2. Эта теорема, во-первых, описывает общий вид самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве и является обобщением ранее доказанной теоремы Гильберта-Шмидта 4.4.1. Во-вторых, она позволяет для любой заданной на спектре оператора A борелевской функции f определить оператор f (A). Поясним содержание теоремы 4.5.2 на примере. A
У(ф Є H,n Є Z+): An(t) = Y An <e3 ,ф>е,,
где {Aj} = a(A) -спектр оператора A , ej -его собственные функции. Следовательно, для любого полинома справедливо равенство
У(ф Є H) : p(A^ =Y P(Aj) <ej ,ф> ej,
309
Откуда следует, что
V(0 Є H): ||р(А)ф||2 = Y |P(Aj )|2| <ej ,Ф> |2.
Поэтому
HP(A)H = sup{|p(A)| | Л Є <т(А)}. (4.105)
А
мая как подалгебра алгебры L(H — H), алгебраически и топологически
А
утверждает, что это справедливо и в более общей ситуации.
