Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Л
разложением Шмидта. Заметим, что у компактного оператора в гильбертовом пространстве может не быть ни одного собственного вектора. Пример такого оператора -оператор
Л/(x)= fХ /(t)dt Jo
в пространстве L2([0, 1] , dx). Однако характеристические числа есть у любого компактного оператора.
296
Мы будем считать, что рассматриваемые гильбертовы пространства сепарабельны и входящие в разложение Шмидта ортонормированные системы полны (ясно, что при необходимости ортонормированные системы {ej} и {gj} можно произвольно дополнить до полных ортонормиро-ванных систем и считать, что соответствующие дополненным элементам слагаемые входят в разложение с нулевыми коэффициентами).
Фундаментальное свойство характеристических чисел компактного оператора описывается доказываемой ниже теоремой Д.Э.Аллахвердиева. Перед формулировкой этой теоремы мы напомним некоторые свойство конечномерных операторов.
Определение 4.4.2. Оператор K Є L(H — H) называется конечномерным, если
Kf = E < ej, f > gj (4.62)
1<j<n
где {ej} и {gj} -.пшено независимые системы элементов гильбертова пространства.
Представление оператора в виде (4.62) не единственно. Если
V f Є H : <ej , f > gj = E <ej , f > gj, (4.63)
1<j<n 1<j<m
то выбрав в (4.63) вектор f так, чтобы выполнялись равенства мы получим:
V г : gi = Y < ej , fi > gj.
1<j<m
Следовательно, в представлении (4.63) n < т. Аналогично мы получаем неравенство т < n. Следовательно, для конечномерного оператора число
(K) := (Im(K))
K
виде (4.63). Определеное равенством (4.64) число мы будем называть
K
Im(K) = span{gi, ... gn}.
Также очевидно равенство
(K*) = (K).
297
Пусть
Mj := {K ! K є L(H — H) , dim(K) = j}- (4.65)
Следующая теорема назывется теоремой Д.Э.Аллахвердиева.
Теорема 4.4.6. Справедливы равенства
81(А) = И АН , Vj > 1 : з,-+1(А) = <Ш(А , Mj). (4.66)
Доказательство. Из теоремы Фишера (теорема 4.4.2, стр. 291) следует, что
5(і+1)(А) =
inf{sup{< / , А*А/ >! И/И = 1, / Є (Im(K•))-1- ! K* Є M,}} = (4.67)
inf{8пр{||А/И2 ! И/И = 1, / Є Ker(K)} ! K Є Mj} < (4.68)
inf{8пр{И(А — K)/И2 ! И/И = 1} ! K Є Mj} = (4.69)
inf {И (А — K )И2 ! K Є Mj} = (Ш(А, Mj )2. (4.70)
Равенство (4.67) -это формулировка утверждения теоремы Фишера. Равенство (4.68) -это следствие равенства
Ker(K) = (Im(K
которое есть следствие равенства (3.76) (см стр. 181). Впрочем, выписанное выше равенство легко можно проверить непосредственно. Последние два равенства есть формулировка соответствующих определений. Следовательно,
Su+1) (А) < dis^А, Mj).
А
K0 = ^ вг(А) <ег ,/>gi. 1<i<j
Очевидно, что
K0 Є Mj
и
И(А — K0)/И2 = ^ в2(А)| < ei, / > |2 < ^(А)2/И2. (4.71)
i>j'+1
Следовательно,
И А — K0 И < з0-+1)(А) и з0-+1)(А) > dis ^А, Mj). Теорема доказана.
298
Л
удовлетворяют условиям:
Если B -компактный оператор, то
1. |Sj(Л) - Sj(В)|<||Л - B||. (4.72)
2. Sj(Л*) = Sj(Л). (4.73)
3. Sj(аЛ) = |а|Sj(Л). (4.74)
4. VB є L(H — H) : Sj(ВЛ) < ||В||Sj(Л) , Sj(ЛВ) < ||В||Sj(Л). (4.75)
Доказательство. Первое утверждение теормы следует из теоремы Д.Э.Аллахвердиева и обобщенного неравенства треугольника (см. формулу (2.11) на стр. 101)
Второе утверждение также следует из теоремы Д.Э.Аллахвердиева, так как
Vj : dist (Л, Mj) = dist(A*, Mj), что следует из равенства
||Л - K|| = ||Л* - K*||.
Третье утверждение очевидно.
Для доказательства четвертого утверждения заметим, что
V(/ є H): < /, (вл)*вл/ >< ||вп2ИЛ/||2 < пвп2 < /, л*л/ >
Следовательно,
V(/ є H) : < / , (||В||2Л*Л - (ВЛ)*ВЛ)/ >> 0,
и поэтому
||В||2Л*Л > (ВЛ)*ВЛ. (4.76)
Из этого неравенства и следствия 4.4.1 (см. стр. 293) вытекает неравенство
||В||2Sj(Л)2 > Sj(ВЛ)2.
Далее заметим, что
Sj(ЛВ) = Sj(В*A*) < ||B*||Sj(Л*) = HBhSj(Л). Теорема доказана.
299
4.4.3 Операторы Гильберта-Шмидта.
И
Определение 4.4.3. Оператор A Є L(H — И) называется оператором Гильберта-Шмидта, если для каких-нибудь двух полных ортонормиро-ванных систем в пространстве И : {ej , 1 — j < то} , {gj , 1 — j < то} сходится ряд
HA | HSH2 := Yl | < ej , Agj > |2. (4.77)
i<i<oo i<j<oo
Ниже мы докажем, что определенная равенством (4.77) функция
A — HA | HSH (4.78)
действительно задает некоторую норму и введенное равенством (4.77) обозначение будет оправдано.
Множество всех операторов Гильберта-Шмидта мы одозначим символом HS.
Теорема 4.4.8. Если ряд (4.77) сходится, для, каких-нибудь двух полных ортонормированных систем, то он сходится, для, любых полных ортонормированных систем и его сумма не зависит от выбора этих систем.
Доказательство. Пусть {ej | 1 — j < то} -произвольная полная орто-
И
справедливы равенства
HA | HSH2 = Y ( У. | < ei, Agj > = Y HAgj H2. (4.79) i<j
<j<oo \i<i<oo / i<j<oo
A | HS H2 = Y ( Y | <A*e* ,gj > |2j = Y HA
i<i<oo \i<j<oo / i<i<oo
Y HAgjH2 = Y ( Y | <ei ,Agj > |2]
<j<o i<j<o \i<i<oo /
*etH2. (4.80) (4.81)
Из первых двух равенств следует независимость суммы (4.77) от выбора ортонормированных систем, из третьего равенства следует, что если ряд (4.77) сходится для каких-нибудь двух полных ортонормированных систем, то он сходится для любых полных ортонормированных систем.
