Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть {A+} -положительные собственные значения компактного са-
A
модуля:
A++i - A+.
Пусть {A-} -отрицательные собственные значения компактного самосо-
A
. іу. ія:
|A-j+i)1 - |A-|. Пусть L(j-1) ^^^^^^^странства в И:
L(j-i) С И , dim(L(j-i)) = j -
v+(L(j_i)) = sup{< f , Af >| Hf H = 1 , f Є Lj-i)},
V-(L(j-i)) = inf{< f , Af >| Hf H = 1 , f Є Lj-i)}.
Следующий результат называется теоремой Е. Фишера или принципом минимакса.
Теорема 4.4.2. /. Если
(T(A) fl [0 , о) = 0,
291
то справедливы равенства
Л+ = sup{<f,Af>\ WfW = 1}, (4.42)
Vj > 1: Л+ = inf{v+ (1(,-1)) \ Ljj-1) С H}. (4.43)
2. Если
a(A)f)(-oc, 0] = то справедливы равенства
Л- = inf{<f,Af>\ WfW = 1}, (4.44)
Vj > 1: Л- = snp{v-(L{j-1)) \ С H}. (4.45)
Доказательство. Пусть
ведливо равенство
-собственные функции, соответствующие собственным значениям Л±±. Сира-
V(f Є H): <f,Af>=Y Л+\ <e+ ,f> \2 + ? Л-\ <e- ,f> \2.
j j
(4.46)
Из (4.46) следует, что при вычислении точных граней в (4.42)-(4.44) достаточно рассмотреть случай
Wf W2 = E \ <e±± ,f> \2. (4-47)
Если справедливо равенство (4.47), то V(Wf W = 1): Л+- <f,Af >=
J>+ - Л+)\ <e+ ,f> \2 + J>+ - Л-)\ <e- ,f> \2 > 0,
j
причем
Л+ =< e+ , Ae++ > .
Равенство (4.42) доказано.
A - -A
Фиксируем произвольно линейно независимые векторы
{hi, 1 < і < j - 1}С H,
292
пусть
L(j-i) = span{hj, 1 < i < j — 1} и определим числа {(? , 1 < i < j} из условий
V(fc < j — 1) : Y а < е+ , >= 0 ,J] Ы" = I-
Пусть
ф = Y «іЄ*+ •
Тогда
||ф|| = 1 , ф Є (L(i_i))± , < ф, Аф >= Y \+N2 > Л+,
поэтому
v+(L(j_1)) ><ф,Аф>> Л+
Ho
V +(e+ ,•••e+^) ) = Л+,
что и доказывает (4,43).
Равенство (4,45) получается из (4,43) заменой А — —А, Теорема доказана.
Следствие 4.4.1. ?Ъга Л.,- (А) м Л, (B) -занумерованные в порядке убывания, собственные числа, самосопряженных операторов А и B и
А > B,
то
Vj : Л,(А) > Л,(В).
Формула (4.40) в некотором смысле задает общий вид компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.
Лемма 4.4.1. Если, {e,} -ортонормированная система в гильбертовом пространстве и а, — 0 , j — то -последовательность действительных чисел, то оператор
А/ = Yа, < eJ , f > eJ
компактен.
293
Доказательство. Оператор
компактен. Дале имеем:
llAf - Anf Ц2 = Y ^ < ej, f > |2 < ||f ||2 sup{a2 | j > n},
поэтому
||A - AnЦ < sup{|aj| | j > n} — 0 , n — то. A
ров и поэтому компактен.
4.4.2 Полярное разложение оператора и характеристические числа.
Пусть A Є L(H — H) Оператор A*A Є L(H — H) самосопряжен и его спектр лежит на неотрицательной действительной оси, где определена функция
R+ э A — VA Є R+.
В силу теоремы 4.5.1 корректно определен неотрицательный самосопряженный оператор
|A| := (A*A)1/2. (4.48)
Следующая теорема называется теоремой о полярном разложении оператора.
A Є L(H — H)
A = U |A|, (4.49)
| A|
U
1. Dom(U) = Cl(Im(|A|)) , Im(U) = Cl(Im(A)) , Ker(U) = 0. (4.50)
2. Vf Є Cl(Im(|A|)): ||Uf ||2 = ||f ||2. (4.51)
3. BU-1 : U-1 Є L(Cl(Im(A)) — Cl(Im(|A|)). (4.52)
294
Доказательство. Из определения (4.48) следует, что
Vf є И : < |A|f , |A|f >=< f , A*Af >= HAf H2.
Следовательно,
Vf Є И : H|A|f H = HAf H , Ker(|A|) = Ker(A). (4.53)
Оператор U мы оперделим, задав его график. Положим по определению
Gr(U):= {|A|f е Af | f Є И}. (4.54)
Af = 0 | A| f = 0
корректно задает график оператора, который удовлетворяет условию
A = U |A|
| A|
ям теоремы. Так как последовательность {|A|fn} сходится в том и только том случае, если сходится последовательность {Afn}, оператop U можно по непрерывности продолжить на замыкание множества Im(|A|), причем продолженный оператор удовлетворяет условию:
U (Cl(Im(|A|))) = Cl(Im(A)). (4.55)
В силу теоремы Банаха об обратном операторе отсюда следует третье утверждение теоремы. Теорема доказана.
U-i И
Pa = ортогональный проектор на пространство Cl(Im(A)). (4.56)
Оператор U-iPa определен во всем пространстве и удовлетворяет условиям:
U-iPaA = |A| , HU-iPaH = 1. (4.57)
A | A|
оператор.
Доказательство. Если оператор A компактен, то оператор A A есть произведение двух компактных операторов и поэтому есть неотрицательный компактный самосопряженный оператор. Пусть
Sj(A)2 : AAej = Sj(A)2ej, S(j+i)(A)2 - Sj(A)2 (4.58)
295
-система собственных значений и собственных функций оператора Л* Л, Из теоремы Гильберта-Шмидта 4,4,1 (см, стр. 290)следует, что
Sj (Л) — 0 , j — оа
Из определения 4,48 следует равенство
|Л|/ = ^2 Sj (Л) <ej ,f>ej. (4.59)
j
Из этого равенства и леммы 4.4.1 (см. стр. 293) следует, что оператор |Л| -компактный оператор. Теорема доказана.
Определение 4.4.1. Расположенные в порядке убывания собственные
| Л|
s-чиелами) компактного оператора Л.
Обычно характеристические числа оператора обозначаются символом Sj (Л).
Из формул (4.49), (4.59) и теоремы 4.4.3 следует
Л
стве представим в виде
Л/ = J2 Sj (Л) <ej ,/>gj, (4.60)
j
где {ej} и {gj} -ортонормированные системы. Доказательство. Справедливы равенства
Л/ = U |Л|/ = 52 Sj (Л) <ej ,/> Uej, (4.61)
j
{ej} U
| Л| gj = Uej
