Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
и получим нужное неравенство. Лемма доказана. Положим
m_ = inf{< x , Ax >| ||x|| = 1},
m+ = sup{< x , Ax >| ||x|| = 1}. (4.35)
Теорема 4.3.1. Если оператор A самосопряжен, mo a(A) С [m_ , m+] , m± Є a(A).
A
форма
x —< x , Ax > принимает действительные значения и
V(x Є Я, в Є R1) : ||(A + гвid)x|2 = ||Ax||2 + в2|И|2 > в2NxH2. (4-36) Докажем, что отсюда вытекает
Лемма 4.3.3. Спектр самосопряженного ограниченного оператора лежит на действительной оси.
Замечание 4.3.1. Позже мы докажем, что спектр любого самосопряженного оператора лежит на деИсвительной оси.
Доказательство. Сдвиг
A — A + iaid ,а Є R1
переводит любой самосопряженный оператор в самомопряженный, поэтому достаточно доказать, что при в Є R1 ,в = 0 оператор (A + ieid) обратим. Пусть
в = 0 , Яо = Im(A + гвid).
Докажем, что множество H0 замкнуто. Пусть
Vn Є Яо , yn — Уо , n — то.
286
Тогда
yn = (A + г///id)xn , ||y(n+m) - упц2 > /^^(n+m) - xnЦ2.
xn
xn — x0 и y0 = (A + i///id)x0 Є H0.
Замкнутость множества H0 доказана.
Теперь докажем, что H0 = H, Пусть H0 = H. Тогда
3z : z Є H01, ||z|| = 1.
Следовательно,
< z , (A + i//id)z >=< z , Az > +i//||z||2 = 0,
поэтому
Im< z, (A + г//id)z > = в||zЦ2 = 0.
Получили противоречие. Итак, мы имеем:
V(// = 0) : (A + г// id) Є L(H — H) , Im(A + i/id) = H , Ker(A + i/id) = 0.
По теореме Банаха о существовании обратного оператора отсюда следует, что
V(/3 = 0) : (A + г// id)-1 Є L(H — H).
Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть
A Є R1 , A > m+.
Тогда
< x , (Aid - A)x >> (A - m+ )||x||2, поэтому билинейная форма
B(x , y) =< x , (Aid - A)y >
(Aid - A)
вается, что при A < m_ оператор (Aid - A) имеет обратный. Нам осталось доказать, что m± Є a (A).
{xn}
Ц Ц 1 , <^ x^n , ^A^^n ->* ^ ТТ7<_.
287
Оператор
B = A - m-id
неотрицателен.
Применим неравенство (4,34) к
x = xn ,y = (A - m-id)xn ,A = B.
Получим неравенство
\\(A - m-id)xn\\4 <\ < xn , (A - m-id)xn > \\\(A - mJd^3 — 0 , n — oo.
{ xn}
Вейля (см, стр. 238) для оператора A и числа Л = m- и поэтому m- є a(A).
Затем мы рассматриваем последовательность
{xn} : WxnW 1 , < xn , Axn > ^ ТП+
и оператор
B = m+id - A,
а далее рассуждаем аналогично. Теорема доказана.
Следующая теорема называется теоремой Релея.
A
ство
wAw = sup{\ <x, Ax > \\ wxw = 1}. (4.37)
Доказательство. Пусть
M = sup{\ < x , Ax > \ \ wxw = 1}. Из неравенства Коши-Буняковского следует, что
v(wxw < 1) : \ <x, Ax > \< wxw • wAxw < wAw,
поэтому
M
Далее имеем:
\Re<x,Ay>\ = \(< (x + y) ,A(x + y) > - < (x - y), A(x - y) >) < M (wx + y\\2 + wx - y\\2) = M (\\x\\2 + \\y\\2) .
288
Положим в этом неравенстве
= _Ay_ Х HAyH"
Получим:
V(HyH = 1) : HAyH < M.
Лемма доказана.
Из леммы 4.3.4 вытекают два важных следствия.
A
H A2H = H AH 2.
Это вытекает из равенства
HA2H = sup{< x , A2x >| HxH = 1} = sup{< Ax , Ax >| HxH = 1} = HAH2.
Следствие 4.3.2. Если r(A) -спектральный, радиус самосопряженного A
r(A) = HAH. (4.39)
Доказательство. Из (4.38) следует, что
Vn : ||Aq(n)H = ||AHq(n) , q(n) = 2n. В силу теоремы 3.5.12 справедливо равенство
r(A) = lim ||Aq(n) H1/q(n) = ||AH.
ra—oo
4.4 Компактные самосопряженные операторы, операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы.
4.4.1 Компактные самосопряженные операторы.
Эти операторы часто встречаются в классических задачах математической физики. Свойства компактных самосопряженных операторов описываются теоремой Гильберта-Шмидта.
289
A=0
гильбертовом пространстве,то существует такая не более чем счетная ортонормированная система {ej} и такая последовательность {Aj} , Aj — 0 , j — оо, что
V(f Є H): Af Y Aj <ej,f є. (4.40)
1< j<oo
Если ряд (4.40) бесконечен, то он сходится, по норме.
Доказательство. В силу леммы 4.3.1 хотя бы одно из чисел ±||A|| =0 принадлежит спектру оператора A, Пусть A1 Є a(A), |A1| = ||A||. Все не равные нулю точки спектра компактного оператора -изолированные
A1
A e1
Ae1 = A1e1.
Рассмотрим оператор
Ai : Aif = Af - Ai <ei, f>ei.
A1 A1 = 0
ра A1 есть собстенное значение A2, которому соответствует собственная функция e2, причем HA1Ц = |A2|. Имеем:
Ae2 - Ai < ei, Є2 > ei = A2Є2.
Умножив скалярно обе части этого равенства на e1; мы получим:
< ei , Ae2 > -Ai < Єї , Є2 > =
< Aei , Є2 > -Ai < Єї , Є2 >= 0 = A2 < Єї , Є2 > .
Следовательно,
либо A2 = 0 ,либо < e2 , e1 >= 0
и
Ae2 = A2e2.
Далее положим
A2 : A2f = Aif - Ai < Єї , f > Єї - A2 < Є2 , f > Є2
290
и продолжим этот процесс. Тогда либо на некотором шаге мы получим, что
Af = Y Aj <eJ , f > eJ ,
l<j<n
либо получим бесконечную последовательность Aj, причем в силу теоремы 3.8.5
|Aj | = ||Aj 0 , j -+оо.
Теорема доказана.
Приведем пример компактного самосопряженного оператора.
Пусть D С Rd -ограниченная квадрируемая область, k(x , y) -непрерывная функция от x , y Є D, которая принимает действительные значения и симметрична по x , y:
V(x Є D , y Є D) : k(x , y) = k(y , x).
Оператор
Af (x) = J k(x, y)f (y)dy
D
компактен в пространстве L2 (D) (см. стр. 224) и самосопряжен.
