Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 4.2.3. Билинейная форма B(x , y) называется кососим-метричной (или эрмитовой) если
Прямым вычислением проверяется, что для кососиметричной билинейной формы справедливо поляризационное тождество:
Следовательно, кососимметричная билинейная форма однозначно определяется своими значениями на диагонали: квадратичной формой B(x , x).
Лемма 4.2.3. Если в комплексном гильбертовом пространстве билинейная форма на диагонали принимает действительные значения:
V(x Є H,y Є H): B(x,y) = B(y,x)*.
(4.22)
B(x , y) = 4(b(x + y , x + y) - B(x - y , x - y) + iB(x - iy , x - iy) - iB(x + iy , x + iy)).
(4.23)
V(x Є H) : B(x, x) Є R
то она кососимметрична:
B (x,y) = B (y,x)*.
281
Доказательство. Равенство
ImB (x + y , X + y) = 0
дает:
ImB(x , y) = —ImB(y , x). Сделав в последнем равенстве замену
y — ^
мы получаем:
Re B(x , y) = Re B(y , x).
Лемма доказана.
Следствием теоремы Рисса является теорема Лакса-Мильграма-Вишика (или теорема Лакса-Мильграма, или теорема Лакса):
B
ству
3(C < то) , V(x Є H , y Є H) : |B(x, y)| < C||x|| • ||y||, (4.24) то существует такой оператор A Є L(H — H), что
V(x Є H,y Є H): B(x, y) =< x, Ay > . (4.25) B
3(m > 0), V(x Є H) : B(x , x) > m||x||2, (4.26)
A
ряет неравенству:
||A-1П < 1/m. (4.27)
Доказательство. Из условия (4.24) следует, что при каждом фикси-x Є H
y — B(y , x)*
A( x) Є H V(y Є H): B(y,x) =<y, A(x) >.
282
Из линейности формы B по первому аргументу следует, что оператор A линеен и
\\A(x)\\< sup{\B(y,x)\\\\y\\< 1}< C\\x\\. A
B(x ,y)=<x,Ay>.
Первое утверждение теоремы доказано. Из (4.26) следует, что
Ker(A) = 0.
Докажем, что из условия коэрцитивности следует равенство
Im(A) = H.
Во-первых, заметим, что из условия коэрцитивности следует, что билинейная форма B (x , y) на диагонали принимает действительные значения и поэтому кососимметрична. Следовательно, билинейная форма B(x , y) H
дуцированная этим скалярным произведением норма эквивалентна исходной норме. Применяя теорему Рисса к гильбертовому пространству H со скалярным произведением B(x , y), мы получаем, что существует такой оператор A є l(H => H), что
v(x є H , y є H) : < x , y >= B(x , Ay) =< x , AAy > . Следовательно,
Im(A) = H.
Так как
Ker(A) = 0 , Im(A) = H,
то из теоремы Банаха о существовании обратного оператора отсюда следует, что существует оператор A-1 є l(H => H). Далее имеем:
\B(A-1x, A-1x)\ = \ < A-1x, x> \> m\\A-1x\\2.
Поэтому в силу неравенства Коши-Буняковского
v(\\x\\ = 1) : \\A-1x\\ > m\\A-1x\\2.
Отсюда и вытекает неравенство (4.27). Теорема доказана.
283
Ясно, что устанавливаемое формулой (4,25) соответствие между удовлетворяющими условию (4,24) билинейными формами и операторами A Є L(H — H) взаимно однозначно. В дальнейшем нам часто будет удобно задавать операторы их билинейными формами (подобно тому, как в линейной алгебре операторы задаются матрицами).
Если билинейная форма кососимметрична, то входящий в представ-A
V(x Є H , y Є H) : < x , Ay >=< Ax , y > .
4.3 Понятие гильбертова сопряжения и ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.
Пусть i =1, 2 , Hi -гильбертовы пространства со скалярным произве-< , > i , A Є L( H1 — H2)
Определение 4.3.1. Оператор
A* Є L(H2 — H1)
A
V(x Є H , y Є H2) : < A*y , x >1=< y , Ax >2 . (4.28)
Гильбертово сопряженный оператор (обозначение: A*) и ранее веденный сопряженный оператор (обозначение: A*) действуют в разных пространствах: гильбертово сопряженный оператор действует в пространстве H2, а сопряженный оператор в пространстве H2*. Гильбертово сопряженный оператор и сопряжений оператор связаны равенством
A* = I1A*!-1, (4.29)
где
Ii : H* — Hi
-определенные ранее операторы вложения.
Лемма 4.3.1. Операция гильбертова, сопряжения, в пространстве L(H1 — H2)
(aA1 + /М2)* = a* A1 + ? *A*.
(A*)* = A.
I|A*|| = HAH. (4.31)
284
Доказательство. Первое свойство очевидно. Для доказательства второго заметим, что
V(x Є H , y Є H2) : < y , Ax >2=< A*y , x >1= < x , A*y >1=< (A*)*x , y >2=< y , (A*)*x >2 .
Равенство (4.30) доказано. Из (4.29) следует, что
||A*H < ||A*H = HAH.
Делая в этом неравенстве замену A — A*, мы получаем равенство (4.31). Лемма доказана.
Определение 4.3.2. Оператор A Є L(H — H) называется самосопряженным, если
V(x Є H , y Є H) : < x , Ay >=< Ax , y > . (4.32)
A
зывается неотрицательным, если
V(x Є H) : < x , Ax >> 0. (4.33)
Определение 4.3.4. Если A и B -ограниченные самосопряженные операторы, то
A > B,
если
A —B > 0.
AB
пряженные операторы, то при а > 0 операторы aA , A+B -неотрицательны.
A
ный оператор, то
V(x Є H , y Є H) : | < x , Ay > | << x , Ax >1/2< y , Ay >1/2 . (4.34) Доказательство. Рассмотрим неравенство < (zx — z-1y) , A(zx — z-1y) >=
|z|2 < x , Ax > +1z|—2 < y , Ay > —2Re (exp(—2i arg(z)) < x , Ay >) > 0.
< x , Ax > = 0
< x , Ay >= 0,
285
иначе это неравенство станет противоречивым при замене x — tx и соответствующем выборе параметра /.Кеш < x , Ax >= 0, то мы можем положить
(<y,Ay>\ 1/4
z = -—r^: exp(iarg(< ^ Ay >/2))
< x , Ax >
