Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1<j<oo
Из доказанной теоремы следует, что все сепарабельные гильбертовы пространства, по-существу, одинаковы: как гильбертовы пространства они унитарно изоморфны пространству /2,
Пусть Ho ,H1, H2 -сепарабельные гильбертовы пространства, Ui -унитарные отображения пространств Hj в H0., A є L(H1 ь-> H2) ,A-оператор, который делает коммутативной диаграмму:
U1
U2
Ho ——-> Ho A
A, поэтому в случае сепарабельных гильбертовых пространств можно ограничиться изучением пространства L(H ь-> H),
Приведем пример несепарабельного гильбертова пространства и несчетной ортонормированной системы.
Пусть L0 -линейное пространство функций вида
/ Є L0 : / (x) = dj exp(iXjx) , Xj Є R1 , — то < x < то, n = 1...
1<j<n
Определим на L0 скалярное произведение
1 Г
V(f Є L0 , g Є L0) : < / , g >:= lim — /*(x)g(x)d
2a J_a
x.
H L0
лярным произведением. В полученном гильбертовом пространстве система элементов
e\(x) = exp(iXx), X Є R1
H
276
4.2 Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.
Напомним, что множество M в линейном пространстве называется выпуклым, если
V(a Є M,b Є M, а Є (0 , 1)) : ста + (1 - a)b Є M.
Следующая теорема часто называется теоремой Леви,
Теорема 4.2.1. В замкнутом выпуклом, множестве гильбертова пространства существует элемент с наименьшей нормой и этот элемент единственен.
M
бертовом пространстве H Множество {||x|| | x Є M} ограничено снизу, поэтому у этого множества существует точная нижняя грань d и существует такая последовательность {xn} С M, что
lim 11 xn
d = inf{||x|| | x Є M}.
(4.15)
В силу равенства паралеллограма
1 І|2
V(m > 0) :
0 (xn + x(n+m))
xn
||x(n+m) I
d , n
M
1
1
2 (xn x(n+m))
.
(Xn + X(n+m)) Є M,
(4.16)
поэтому
V(n, m) : 2(Xn + X(n+m))
d
и из (4.16) следует, что
sup{||xn - X(n+m)H | 1 < m< to} —> 0 , n
.
Мы доказали, что удовлетворяющая условию (4.15) последовательность
{ x n}
M
3(x0 Є M) : Xn
Xo , ||Xo|
d.
277
Пусть x[, -произвольный элемент, который удовлетворяет условию
(x0 є M) , \\x'0\\ = d. Тогда должна существовать такая последовательность {xn) с M, что
xn ^ x0 , n ^ OO.
Последовательность
x1 , x1 , x2 , x2 , . . .
удовлетворяет условию (4,15) и поэтому фундаментальна. Следовательно, x0 = x0- Теорема доказана.
MH
Определение 4.2.1. Множество
M± = {x ^(y є M): <y,x >= 0) (4.17)
M
M
M± есть замкнутое линейное подпространство в H и (Cl(M))± = M± Доказательство. Функция
x —< y , x > непрерывна, поэтому множество
{x ^ y , x >= 0)
y є H
M± = П {x ^У, x>=0)
уЄМ
замкнуто как пересечение замкнутых множеств. Если x1 є M± , x2 є M±, то
v(y є M) : < ax1 + ?x2 , y >= a* < x1, y > +?* < x2 , y >= 0,
поэтому
ax1 + ?x2 є M±. Следовательно, M± -линейное подпространство.
278
Из включения
M С Cl(M)
следует включение
(Cl(M))1- С M1.
Пусть Тогда
поэтому
x Є M1 , yn Є M , yn - yo Є Cl(M).
< x , yo >= lim < x , yn >= 0,
n—oo
x Є (Cl(M))1 , M1 С (Cl(M))1.
Лемма доказана.
Следующая теорема называется теоремой Леви о проекции.
Ho
H
H = Ho 0 H01. (4.18)
x Є H
M = {x - y | y Є Ho}
есть замкнутое выпуклое множество. Пусть (x - y0) -элемент с наимень-
M
ществует и он единственен. Так как элемент (x - y0) имеет наименьшую
M
d і
V(w Є Ho): — ||x - yo + zw||2 I = 0,
dz1
d 2і
V(w Є Ho): dZ llx - yo + izw|2 |z=0 = 0.
Вычисляя производные, мы получаем:
V(w Є H0) : <x - y0 , w > + <x - y0 , w >*= 0, V(w Є H0) : <x - y0 , w > - <x - y0 , w >*= 0.
Следовательно,
Теперь осталось заметить, что
x = yo + x - yo.
279
Единственность разложения (4,18) следует из того факта, что
VH0 : Hc р| H1 = 0.
Теорема доказана.
Заметим, что пространство H01 может быть отождествлено с фактор-
H H0
Следующая теорема следует из теоремы Леви и называется теоремой Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве.
H
нейного непрерывного функционала l є H* существует такой вектор y(l) є H, что
v(x є H) : l(x) =< y(l) , x > .
y( l)
Доказательство. Единственность представления (4.19) следует из невырожденности скалярного произведения:
еслиvx : l(x) =< y(l), x >=< y1(l), x > , Toy(l) = y1 (l).
Докажем существование представления (4.19). Множество Ker(l) есть
H
Ker(l) = H y(l) = 0
Ker(l) = H
3z : z є Ker(l)1, z = 0.
Так как
v(x є H) : l(l(x)z - l(z)x) = l(x)l(z) - l(z)l(x) = 0,
TO
v(x є H) : (l(x)z - l(z)x) є Ker(l), следовательно
v(x є H) : < z , l(x)z - l(z)x >= 0,
поэтому
< z , z > l(x) = l(z) < z , x >,
и
vx : l(x) =< y(l) ,x>, y(l) = l*(z)\\z\\~2z. (4.20)
Теорема доказана.
280
Лемма 4.2.2. Определяемое формулой (4,20) отображение
I : H* — H, H* э / — I(/) = y(/) Є H
антилинейно:
Ці(/) | hll = ||і | h*|
Последнее утверждение вытекает из (4,6). Определение 4.2.2. Функция
(4.21)
B : Hx H C
называется полулинейной (или косо линейной, или полуторалинейной, или сопряженно-линейной, или иногда просто билинейной, если ясно, о чем идет речь) формой, если
V(x Є H , y Є H , z Є H) : B(x , //y + Yz) = //B(x , y) + yB(x , z), B (ax + //y , z) = a* B(x , z) + //*B (y , z).
