Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
4.1.2 Ортонормированные системы.
Определение 4.1.4. Элементы f , g гильбертова пространства H ортогональны (обозначение: f -Lg), если
< f , g >= 0.
Определение 4.1.5. Система элементов {ej | j Є I} С H гильбертова H
<ег ,ej >= Sj , V(i = j): Sj = 0 , : 8і = 1. Приведем примеры ортонормированных систем,
В пространстве I2 ортонормированную систему элементов ej ,j = 1 ... составляют векторы, у которых координата с номером j равна единице, а все остальные координаты равны нулю:
ej = {0 , 0 ... 0 , 1, 0 ...}.
L2([0 , 1] , dx) ставляют векторы
e0(x) = 1 , e2j(x) = v^2cos(2njx) , e2j+1(x) = V/2sin(2njx) , j = 1 ...
Ортонормированная система не обязательно счетна.
Определение 4.1.6. Если {ej | j Є I} С H-ортонормированная система элементов, то числа
< ej , f >
называются коэффициентами Фурье элемента f Є H по ортонормиро-{ej}
271
Лемма 4.1.2. Пусть {f | 1 < j < то) С H -произвольная счетная система, элементов гильбертова, пространства, H и
Ln = span{fi,... fn).
Тогда, существует такая счетная ортонормированная система функций {ej | 1 < j < оо), что
Ln С span{ei,... en)
Доказательство. Доказательство проводим индукцией по п. Достаточно рассмотреть случай, когда при каждом п система функций {f1 ... , fn
п=1
ei = fi/Il fill.
Если
f(n+i) Є span{ei,... en),
то положим
e(n+i) = ?(f(n+i) - Y < eJ , f(n+i) > eJ). i<j<n
Очевидно, что
V(j < n) : < e(n+i) , ej >= 0 ; e(n+i) = 0. Параметр ? выберем из условия
||e(n+i) I = 1.
Имеем:
f(n+i) = ?e(n+i) + Y < ej , f(n+i) > ej Є span{ei,... Є(п+1)).
? i<j<n
Лемма доказана.
Прямым вычислением доказывается
Лемма 4.1.3. Если {ej | 1 < j < то) -ортонормированная система элементов, то справедливо равенство
Voj : |f - Y ад I2 = If I2 - Y I <ej ,f > I2 + E <ej ,f > I
i < j< n i < j< n i < j< n
272
(4.8)
Из этого равенства вытекает
Следствие 4.1.1. Если, {ej | 1 < j < то} -ортопормироваппая система элементов, то справедливы, неравенства:
Vaj : ||f - Y <ej ,f>ej || < ||f - Y aj ej ||. (4.9)
1<j<n 1<j<n
Y | <ej ,f> ^ <Hf H2. (4-Ю)
1<j<oo
Неравенство (4.10) называется неравенством Бесселя. Из неравенства Бесселя следует, что для любой ортонормированной системы и любого f Є H ряд
Y<ej , f > ej j
H
Определение 4.1.7. Ортонормированная система элементов {ej |є і} называется полной, если не существует отличного от нуля вектора, который ортогонален всем векторам системы {ej |є і}:
(Vej : <ej ,f>=0) => (f = 0).
Лемма 4.1.4. Если, ортонормированная система счетно,, то она полна в том, и, только том, случае, если,
V(f Є H) : ||f ||2 = E | <ej ,f> f. (4.11)
1< j<oo
Доказательство. Если элемент f Є H ортогонален всем элементам системы {ej | 1 < j < оо}, то из условия (4.11) следует, что f = 0, поэтому из (4.11) следует полнота системы {ej | 1 < j < то}. Для любого f Є H элемент
9 = f - <ej ,f>ej
1<j<oo
{ej | 1 < j < о} {ej | 1 < j < о} 9 = 0 9 = 0
f
о = ||f||2- Y |<ej,f>
1 < j< o
273
Лемма доказана.
Если ортонормированная система счетна, то положив в равенстве (4.11)
f - f + Ag
и приравняв слагаемые при одинаковых степенях A. мы получим
Лемма 4.1.5. Счетная ортонормированная, система, {ej | 1 < j < то}
полна, в том, и, только том, случае, если,
V(f Є H,g Є H) : <f,g>= Y <f,ej ><ej ,g>. (4.12)
1< j<oo
Равенство (4.12) называется равенством Парсеваля.
H
нем существует счетное всюду плотное множество, т. е. такое множество {fj 1 1 < j < оо}, что
H = Cl({fj | 1 < j< то}). (4.13)
Теорема 4.1.3. Гильбертово пространство сепарабельно в том, и, только том, случае, если, в нем, существует счетная полная ортонормированная система элементов.
H
множество {fj | 1 < j < то} удовлетворяет условию (4.13) и ортонормированная система {ej | 1 < j < то} удовлетворяет условию
Vn : span{fj | 1 < j < n} С span{ej | 1 < j < n}. (4.14)
Для каждого элемента f Є H существует такая последовательность fn(j) , 1 < j < то, что
llf - fn(j)l — 0 , j — то.
Пусть
fn(j) = 7 у a(n(j) ,i)e*. 1<i<n(j)
Из неравенства (4.9) следует, что
V(n>n(j)): |f - Y <Єі , f > ЄіУ2 <
1<г<га
||f - Yl a(n(j)-i)ei^2 = llf - fra(j)^2 — 0 ,j — 1<i<n(j)
274
Следовательно, удовлетворяющая условию (4,14) ортонормированная си-
H
существует счетная полная ортонормированная система элементов {ej | 1 _ j < то). Рассмотрим множество функций вида
(aj + ibj)ej , aj , bj — рациональны, n = 1 ...
1<j<n
Это множество счетно и всюду плотно. Следовательно, гильбертово про-H
Определение 4.1.9. Оператор
U Є C(H — H2) называется изометрическим, если
V(f Є H1 ,g Є H) : <Uf,Ug>2=<f,g>1 . U
только том случае, если
V(f Є H) : \\Uf | H2W2 = \\f | H42. Доказательство. Достаточно в равенстве
WU(f + Xg) | H2W2 = \\(f + Xg) | H1W2 приравнять слагаемые с линейной и сопряженно-линейной по X частью.
U
ным, если он обратим:
3U"1 : UU-1 = U-1U = id.
H
пая полная, отртонормллрованная, система, элементов {ej | 1 _ j < то), то существует унитарное отображение этого пространства на пространство I2.
U
V(f Є H): Uf = {<ej ,f> 1 _ j< то).
275
Обратное отображение вычисляется по формуле
