Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Положим
[A , B] := AB — BA.
260
Лемма 3.10.19. Если
[A [A , B]] = 0,
то
exp(A)Bexp(-A) = B + [A, B], exp(A)J(B) = (J)(B + [A , B]) exp(A).
Доказательство. Положим
f (t) = exp(tA)B exp(-tA).
Диффиренцируя no t, получаем:
df = exp(tA)(AB - BA) exp(-tA) = [A, B] exp(tA) exp(-tA) = [A , B]. dt
f (t) = B + t[A , B].
Отсюда следует первая из доказываемых формул, из которой вытекает (см. формулу (3.150) на стр. 202), что
exp(tA)J(B)exp(-tA) = (J(exp(tA)B exp(-tA)) = J(B + t[A, B]),
что эквивалентно второй формуле.
Лемма 3.10.20. Если
[A , B ] = C , [A,C ] = [B,C ] = 0,
то
exp(A) • exp(B) = exp(^C + A + B). Доказательство. Положим
f (t) = exp(tA) • exp(tB) • exp(-t(A + B)).
Тогда df
-7- = exp(tA)Aexp(tB) • exp(-t(A + B)) + exp(tA) • exp(tB)Bexp(-t(A + B))-dt
exp(tA) • exp(tB)(A + B) exp(-t(A + B)) =
exp(tA)(Aexp(tB) - exp(tB)A) exp(-t(A + B)) = tCf (t).
Отсюда следует, что
f (t) = exp(i t2C).
Лемма доказана.
261
Замечание 3.10.3. Не существует элементов банаховой алгебры, которые удовлетворяют равенству
ab — ba = id
Докажем это утверждение от противного. Пусть такие элементы существуют. Тогда должны выполняться равенства
a2b — aba = a , aba — ba2 = a,
поэтому
a2 b — ba2 = 2a,
и по индукции
Vn : anb — ban = na11'1,
следовательно
Vn : n\\an-1\\ < 2\\a\\\\b\\\\an-1\\,
что возможно только в том случае, если \\an-1\\ = 0, а отсюда следует, что an-1 = an-2 = ... = a = 0 = id.
3.11 Коментарии и литературные указания.
3.11.1 Определение линейнного пространства.
Напомним определение линейного (векторного) пространства. Линейное пространство -это коммутативная (абелева) группа, на которой определено подчиняющееся ряду аксиом действие поля скаляров. В качестве поля скаляров мы будем рассматривать только два поля: поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Алгебраические свойства действительных и комплексных чисел мы считаем известными, поэтому общего определения поля мы давать не будем. Общеринятый список аксиом линейного пространства мы приводим ниже.
Линейное пространство L -это множество, в котором определены операция сложения, ставящая каждым двум элементам a Є L , b Є Lb соответствие третий элемент, обозначаемый символом a + b, и опрерация умножения на (комплексное) число, ставящая каждому числу Л Є C1 и элементу a Є L в соответствие обозначаемый символом Лa элемент про-L
число удовлетворяют следующим аксиомам.
262
1. Сложение ассоциативно:
(a + b) + с = а + (b + с).
2, Существует такой элемент 0 Є L что
V(a Є L) : a + 0 = 0 + a = a.
3, Для каждого элемента a Є L существует такой элемент (-a) Є L что
a + (-a) = 0.
4, Сложение коммутативно:
V(a Є L , b Є L) : a + b = b + a. Операция умножения на число удовлетворяет следующим аксиомам, 5. V(a Є C1, в Є C1, a Є L) : a(/?a) = («в)a.
L
L
модуля над полем, аксиома 8 уточняет, что этот модуль -унитарный. Не все аксиомы 1-8 независимы: некоторые из них можно вывести из
других, некоторые можно сформулировать в более слабой форме, однако
список 1-8 удобен и является общепринятым.
Примеры линейных пространств общеизвестны и мы не будем на них
останавливаться,
3.11.2 Определение фактор-пространства.
Напомним определение фактор-пространства линейного пространства. Пусть L -линейное пространство и L D L0 -линейное подпространство LL
положив
Пусть L/Lo -фактор множество множества L по соотношению эквивалентности (3.282) и пусть [a] Є L/L0 -тот класс эквивалентности, который содержит элемент a Є L. Превратим множество L/L0 в линейное пространство, положив по определению
6. V(a Є C , a , b Є L) : a(a + b) = aa + ab.
7. V(a Є C1, в Є C1, a Є L) : (a + e)a = aa +
8. V(a Є L) : 1 • a = a.
a ~ a' , earn a - a' Є L0.
a [a] + вИ := [aa + в^.
263
Корректность этого определения следует из того факта, что L0 -линейное пространство и поэтому правая часть (3.283) не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности.
Множество классов эквивалентности по соотношению (3.282) с определенными соотношением (3.283) операциями линейного пространства
L
Lc
3.11.3 Определение прямой суммы пространств.
Пусть I -произвольное множество индексов и пусть каждому т Є I поставлено в соответствие линейное пространство L над одним и тем же полем скаляров. Рассмотрим множество функций
I Э т — а(т) Є LT
и превратим это множество в линейное пространство, положив по определению
(аа + /%)(т) := аа(т) + рЬ(т) Є LT.
Это линейное пространство называется прямой суммой линейных пространств LT и обозначается символом
0 J] Lr.
т Є/
В качестве примера подобной конструкции можно рассмотреть пространство Rd. В этом случае множество индексов I -это отрезок натурального ряда {1 < т < d} , Lr = R1 и
Rd = 0 J] R1.
Другой подход к понятию прямой суммы линейных пространств дает следующая конструкция.
Пусть L -линейное пространство и пусть L D Lj , 1 < j < n -
L
дующему условию: каждый элемент а пространства L единственным образом представим в виде
а = Y1 aJ , aJ Є LJ.
j
264
L
Изложенные в этой главе факты теории банаховых пространств, по существу, являются простейшим "бесконечномерным" обобщением известной читателю теории матриц и операторов в конечномерном линейном пространстве и есть практически в каждом учебнике функционального анализа. Классическими учебниками являются книги [21, 27, 18]. Простое изложение начал теории банаховых пространств есть в учебнике [33]. Краткое и рассчитанное на подготовленного читателя изложение основ теории банаховых пространств есть в [32]. Обстоятельное изложение основных принципов читатель найдет в [40]. Много интересных фактов теории банаховых пространств читатель узнает из книг [19, 20].
