Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 61

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 110 >> Следующая

||R(A, A)n|| < ||R(A, A)||n < ReA"ra,
M = 1 , и = 0
Заметим, что заменой
T (t) — exp(-ut)T (t)
можно добиться того, что рассматриваемая полугруппа будет сжимающей.
Ao
класса, C0 в банаховом, простра, истее Bub є L(B — B) то оператор A0 + b есть инфинитезимальный, оператор полугруппы, класса, C0.
To(t) Co
дена инфинитезимальным оператором A0 и пусть
||T0(t)|| < Mexp(ut).
Выберем число 5 > 0 так, чтобы выполнялось неравенство
а := 5||b||Mexp(u5) < 1.
Пусть C([0, 5], B) -банахово пространство всех непрерывных функций от t є [0, 5] со значениями в B. Фиксируем x є B и в пространстве C([0, 5], B) рассмотрим оператор
W : C([0 ,5] ,B) — C([0 ,5], B),
Wz(t) = T0(t)x + / T0 (t - т )bz(r )dr, 0 <t<5. Jo
255
Этот оператор сжимающий. Пусть z0(t, x) -его неподвижная точка. Для [0 < t < 5]
U(t) : x — z0(t, x). Оператор U(t) -линейный ограниченный оператор:
V(t < 5) : ||U(t)x | B|| < (1 - a)_15||b||Mexp(u5)||x | B||,
C([0 , 5] , B) V(x є B) : ||U(t)x - x | B|| — 0 , t — +0. Пусть tl + t2 < 5. Тогда
Z0(t1 + t2 , x) = T0(t2)(T0(t1)x + / T)(tl - т)bz0(T , x)dT) +
/ T0(t2 - т)bz0(t1 + T,x)dT.
Так как оператор W при каждом x є B имеет единственную неподвижную точку, то отсюда следует равенство
z(t1 + t2 , x) = z(t2 , z(t1, x)),
поэтому
V(t1 + t2 < 5) , : U(t1)U(t2) = U(t1 + t2).
Пусть
55
t = и- + т, 0 < т < -.
Положим
T (t)= U (2)nU (т). (3.269)
Это равенство определяет полугруппу класса C0 с инфинитезимальным оператором A = A0 + b. Теорема доказана.
Рассмотрим пример. В пространстве B = L2 (R1 , dx) на области Dom(A) = {/ | / (x) є L2(R1, dx), x2/(x) є L2(R1, dx)} определим оператор
A/(x) = -x2/(x).
Легко видеть, что все условия теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды выпол-A
T(t)/(x) = exp(-x2t)/(x).
256
3.10.2 Абстрактная задача Коши.
A
Dom(A)
A : B D Dom(A) ь B. Определение 3.10.4. Функция
R+ Э t ь y(t, yo) Є Dom(A) (3.270)
называется решением абстрактной задачи Коши
dy(^y0) = Ay(t, yo), 0 < t < то , y(+0 , yo) = yo, (3.271)
если выполнены условия:
і.V(t>0): зdy(t;yo) ЄB.
2. V(t> 0): y(t,yo) Є Dom(A)
3. ||y(t,yo) - yo ||ь 0 ,t ь +0
и равенство (3.271).
A
тор полугруппы, класса Co , yo Є Dom(A), то абстрактная задача, Коши (3.271) имеет единственное решение:
уМ yo) = T(t)yb
T( t) A
В доказательстве нуждается только единственность решения. Пусть z(t) -решение абстрактной задачи Коши:
dz(t) = Az(t), t > 0 , z(+0) = 0. dt
Справедливо равенство
V(0 < г < t) : -f-T(t - г)z(t) = -AT(t - г)z(t) + AT(t - г)z(r) = 0. dr
Следовательно,
Vt > 0 : T(0)z(t) = z(t) = T(t)z(0) = 0.
257
Теорема доказана.
3.10.3 Некоторые равенства, связанные с теорией по-
вышаем некоторые полезные и часто используемые равенства, которые связаны с теорией полугрупп. Для удобства вывода нужных нам равенств мы будем считать все встречающиеся операторы ограниченными, В приложенях область применимости этих равенств исследуется в каждом случае отдельно.
Формула Троттера. Лемма 3.10.17. a , b Є L(B — B), то справедливо равенство
Доказательство. Справедливы равенства (exp(ta/n) • exp(tb/n))n =
((id + ta/n + O((l/n)2))(id + tb/n + O((l/n)2)))n =
((id + ta/n + tb/n + O((l/n)2)))n — exp(t(a + b)) , n .
Формула (3.272) называется формулой Троттера.
Формула Дюамеля. Лемма 3.10.18. Пусть функция
exp(t(a + b)) = lim (exp(ta/n) • exp(tb/n))
(3.272)
n—оо
R+ э t — a(t) Є L(B — B)
непрерывна. Пусть U (t, т) -решение уравнения:
dU (t, т) dt
a(t)U (t ,т) , 0 <т <t< то ,U (т,т ) = id
(3.273)
Тогда решение задачи
dy(t) dt
a(t)y(t) + f (t) , y(0) = yo
(3.274)
дается формулой
(3.275)
258
Доказательство. Дифференцируя правую часть равенства (3.275) по
t
dU(t, 0)yo + d Ґ U )
—dtr- + Jtj0 (-,т)f(т)(іт =
a(t)U (t, 0)y0 + / a(t)U (t, т )f (т + U (t,t)f (t) = 0
a(t)y(t) + f (t).
Лемма доказана.
Формула (3.275) называется формулой Дюамеля. a( t) t
a(t) = a,
то
U(t, т) = exp((t — т)a), и формула Дюамеля принимает вид
y(t) = exp(ta)y0 + exp((t — )a)f( )d .
Рассмотрим уравнение
dy(t)
ay(t) + by(t) , y(0)= y0. (3.277)
dt
a b t
f (t) = by(t) и применяя формулу (3.277), мы получаем:
exp(t(a + b))y0 = exp(ta)y0 + exp((t — т )a)b exp^ (a + Ь))у^т.
0
Заменяя в этом уравнении
b—b—a
y0
exp(tb) — exp(ta) = exp((t — )a)(b — a) exp( b)d .
0
259
Формулы дифференцирования экспоненты. Положим в формуле (3.278)
a = a(?) , b = a(?) + ^A? + 0((A?)2) и перейдем к пределу A? — 0. Получим
4; exp(ta(?))= Г exp((t - r)a(?))da(?) exp(ra(?))dr. (3.279) d? J0 d?
В частности, если
a(?) = a + ?b,
то
d
exp((a + ?b))|e=0 = exp((1 — r)a)b exp(ra)dr. (3.280)
d? 0
Формулы (3.279)-(3.280) иногда называют формулами Фейнмана. Положим в формуле (3.279)
a(?) = —t exp(?a)h exp(—?a),
?=0
Мы получим:
[a , exp(—th)] = — / exp(—(t — г)h)[a , h] exp(—rh)dr (3.281)
0
где
[a , b] = ab — ba.
Формула (3.281) называется формулой Кубо (правда, она выписана в непривычных для глаза физика обозначениях).
Формулы Бейкера-Кембелла-Хаусдорфа. Физики назывют формулами Бейкера-Кембелла-Хаусдорфа (или формулами Бейкера-Хаусдорфа) ряд формул, которые получаются как следствие известной в теории групп Ли формулы Кембелла-Хаусдорфа для оператора ln(exp A • exp B). Получим некоторые из этих формул. Мы будем считать, что все операторы оганичены, хотя на практике формулы чаще всего применяются к неограниченным операторам.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed