Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
B** B
(T**)- Im(T)
B2 ( T*) -
Ker(T*) = 0,
и в силу теоремы 3.4.8 (см. стр. 181) справедливо равенство
B2 = Ker(T*)x = Cl(Im(T)) = Im(T). (3.91)
Из (3.90) , (3.91) и теоремы Банаха о существовании обратного оператора
T-
Теорема доказана.
183
3.5 Банаховы алгебры и операторное исчисление.
3.5.1 Предварительные сведения.
Напомним определение алгебры.
Определение 3.5.1. Множество A называется алгеброй над полем комплексных чисел C1, если множеетво A есть линейное пространство над полем комплексных чисел C1 и в множеетве A определена бинарная операция умножения
AxA^A : a x b — ab,
которая удовлетворяет следующим условиям, 1. Операция умножения ассоциативна:
V(a Є A, b є A, c є A) : a(bc) = (ab)c.
2, Операция умножения билинейна:
V(a є A, b є A, c є A , a є C, ? є C ,7 є C) : (аа + ?b)c = aac + ?bc, a(?b + 7c) = ?ab + Yac.
A
AA
ство, причем операция умножения и норма связаны условием:
1И| < HaMMbM. (3.92)
A
ховой алгеброй (или алгеброй с единицей) если
3(id є A), V(a є A) : id • a = a • id = a.
В дальнейшем (если явно не оговорено другое) рассматриваемые нами алгебры будут алгебрами с единицей. Из (3.92) следует, что операция умножения непрерывна: если
a« — ao , bn — bo , n — то,
184
||a„b„ - aobo|| < HanHHb« - boH + ||bo||an - aoH — 0 , n — то.
то
Примером унитальной банаховой алгебры является банахово пространство
A = L(B ь B) (3.93)
B
B
как композиция операторов (см. определение 3.4.7 и (3.83) на стр. 182).
В частности, если банахово пространство B = Rra, то алгебру (3.93) можно отождествить с алгеброй квадратных матриц размером n х и, в которой линейные операции и операция умножения матриц определены обычным образом.
В дальнейшем (как можно доказать, в существенном не ограничивая общности) для простоты можно считать, что рассматриваемая нами алгебра есть алгебра (3.93).
Распространим на функции со значениями в банаховой алгебре некоторые понятия теории функций комплексного переменного.
Гладким контуром / в плоскости комплексного переменного с1 мы будем называеть образ полуинтервала [a , b) при непрерывно дифференцируемом инъективном (взаимно-обнозначном на образе) отображении:
/ = {z | z = z(t) , a < t < b, |z'(t)| < const. < то, } , / С с1. (3.94)
Пусть
a(z): / ь A
-равномерно по z непрерывное отображение контура / в алгебру A.
Составим интегральную сумму Римана:
S = a(z(ij-))(z(tj+i) - z(tj)) , tj < tj < tj+i. (3.95)
j
Диаметром разбиения
a = t0 < ti... tj < tj+i... < b полуинтервала [a , b) называется число
6 = max 11j+i — tj |.
j
Если S и S' -две интегральные суммы Pимана и 6 , 6' -соответствующие
[a , b)
очевидная оценка
||S — S'| < (b — a) sup |z'(t)|x t
sup{|a(z(t')) — a(z(t''))| | |t' — t''| <6 + 6' ,a < t', t'' < b}, из которой следует
185
Лемма 3.5.1. Если I -гладкий контур и a(z) -равномерно непрерывная функция, на, I со значениями в банаховой алгебре л, то существует предел
/ a(z)dz = lino a(z(tj— z(tj))
і V j
# = max — tj | , tj < tj < tj+1. (3.96)
j
Предел (3.96) называется интегралом Бохнера от функции a(z) по контуру /.
Пусть D -открытая область в плоскости комплексного переменного
C1.
Определение 3.5.4. Функция
a(z): D — Л
называется дифференцируемой в точке z Є D, если существует предел
da(z) = a(z + Az) — a(z) . .
dz ^z^o Az .
Определение 3.5.5. Если предел (3.97) существует в каждой точке z Є D, то функция a(z) называется ^^^^етичесой в области D.
Доказательство существования предела (3.97) облегчает
D
D э z — T(z) Є L(B — B). (3.98)
Если
V(x Є B , f Є B*)
функция,
#z,x,f) =<f | T(z)(x) >
DD в смысле определения 3.5.5.
Доказательство. Фиксируем z Є D. 11 s ннн. пп нчноп н функции ^(z , x , следует, что функция
Az — 0(f , x , Az) = (V>(z + Az , x , f) — V(z , x , f ))/Az
186
аналітична в окрестности нуля. Следовательно,
V(x Є B , / Є B*) , 3(6 > 0) : sup{|(Azi - Az2)"1 X
(ф(/ , x , Azi) - ф(!,х, Az2))| | |Azi| + |Az2| < 6} < то. (3.99)
Из теоремы 3.4.5 (см. стр. 177) следует, что
3(6 > 0) : sup{||(Azi - Az2)-1((T(z + Azi) - T(z))/Azi-(T(z + Az2) - T(z))/Az2|| | Azi| + |Az2| < 6} < то.
Поэтому
3(6 > 0 , C(6) < то) : ||((T(z + Azi) - T(z))/Azi-(T(z + Az2) - T(z))/Az2| < C(6)|Azi - Az2|.
Теорема доказана.
На функции комплексного переменного со значениями в банаховой алгебре практически без изменения формулировок и доказательств ( с очевидной заменой оценок по модулю на оценки по норме) переносятся многие классические теоремы теории функций комплексного переменного. Детали доказательств подобных обобщений мы предоставляем читателю. В частности, нам понадобятся обобщение интегральной формулы Коши и некоторых теорем теории степенных рядов (формулы для радиуса сходимости степенного ряда и теоремы Коши о существовании особых точек на границе круга сходимости). Мы надеямся, что читатель самостоятельно получит обобщения этих теорем на случай функций со значениями в банаховой алгебре.
3.5.2 Резольвента и спектр.
Определение 3.5.6. Элемент а 1 є A называется обратным к элементу а Є A, если
