Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Из формулы (3.58) следует, что
|| J(x) | В**|| = sup{| < f | x > | | ||f | В*|| < 1} = ||x||.
В
В**
линейное и изометрическое отображение. Следовательно, образ J(В) проВ В** J
В
J (В) = В**. (3.69)
В
ему второму сопряженному (иногда говорят: совпадает со своим вторым
сопряженным) и любой линейный непрерывный функционал на проВ*
I Is теоремы 1.2.10 (см. стр. 83) следует
Теорема 3.4.6. При 1 < p < то прострапство Lp(D , ^(dx)) -рефлексивное пространство.
Доказательство. Из теоремы 1.2.10 следует, что для каждого функционала f Є (Lp(D , /x(dx)))* существует такая функция f Є Lq (D , /x(dx)), q = p/(p— 1)
V(g Є Lp(D , Mdx))) : < f | g >= / f (x)g(x)Mdx). (3.70)
Оперделенное формулой (3.70) отображение
(Lp(D , Mdx)))* э f — f (x) Є Lq(D , Mdx))
взаимно однозначно и изометрично. В силу этой же формулы отображение
(Lq(D , ju(dx)))* э g — g(x) Є Lp(D , ^(dx))
178
взаимно однозначно и изометрично. Следовательно, J(Lp(D , ?(dx))) = Lp(D , p(dx))**.
Теорема доказана.
Пространство L1 (D , ?(dx)), вообще говоря, не есть рефлексивное пространство.
3.4.2 Сопряженный оператор.
Определение 3.4.4. Оператором T*, сопряженным к оператору
T є L(Bi ь B2)
называется оператор, который каждому функционалу f є B2* ставит в соответствие функционал T*(f) є B*, действующий по формуле
V(f є B* ,x є Bi) : < T*(f) | x >=< f | T(x) > . (3.71)
Рассмотрим пример.
Пусть D -ограниченная замкнутая область в пространстве Rd. Пусть функция k(x , y) непрерывна в D х D:
k(x,y) є C(D х D).
На пространстве Lp(D) рассмотрим оператор T, который действует по правилу:
V(f є Lp(D)) : T(f)(x) = k(x , y)f(y)dy.
D
Эта формула задает оператор
T є L(Lp(D) Lp(D)).
J
Tj* є L(Lq(D) ь Lq(D)), который делает коммутативной диаграмму
Lp(D)* ---ь Lp(D)* J J
Lq(D) -—ь Lq(D) 179
Имеем:
< Tj(g) | ф >=< J(g) | T(ф) >= j g(x) I / k(x , у)ф(у)ау | dx =
D
|
k(xy)g(x)dx I ф(у)ау.
DD
Отсюда следует, что
т./(д)(у) = У y)g(x)dx. D
Tj TJj Tj
в пространстве Lp(D)*, а оператор Tj в пространстве Lq(D), Часто этой
Tj TJj
Теорема 3.4.7. Отображение
T ь Tj (3.73)
есть линейное изометрическое отображение пространства c(B1 ь-> B2) в пространство c(Bi; ь-> Bj).
Доказательство. Линейность отображения (3.73) очевидна, а для доказательства изометричности этого отображения заметим, что
||Tj |C(BJ ь Bj)|| =
sup{||Tj(f) | bjh I П/ I Bj||< 1} =
sup{| < Tj(f) | x > | | ||f | Bj|| < 1 , ||x | B1K 1} =
sup{| </ | T (x) > ||||f | Bj||< 1 , ||x | Bi|< 1} =
||T |C(Bi ь Bi)||
Теорема доказана.
Определение 3.4.5. Аннулятором подмножества A С Bj называется
B
N(A) = {x | V(/ Є A) : < / | x >= 0} = р| {x |< / | x >= 0}. (3.74)
/ ел
180
Аналогично,
Определение 3.4.6. Аннулятором подмножества A С В называется
В*
N(A) = {f | V(x Є A) : < f | x >= 0} = pi {x |< f | x >= 0}. (3.75)
Если A С В, то N(A) С В*, а если A С В*, то N(A) С В. Иногда анну.іяіор обозначается символом
A1- = N (A).
Теорема 3.4.8. Для, любого оператора
T Є ?(Ві — В2)
справедливо равенство
Cl(Im(T ))= N (Ker(T*)). (3.76)
Доказательство. Пусть
y Cl(Im(T)).
Тогда существует такая последовательность {xn} С Ві; что
у„ = T(xra) — у , n — то.
Следовательно,
V(f Є Ker(T*)) : < f | у >= lim < f | T(x„) >=
ri—oo
lim < T*f | xn >= 0.
ri—oo
Поэтому
у Є N(Ker(T*))
и
Cl(Im(T)) С N(Ker(T*)).
Пусть
у Є Cl(Im(T)). (3.78)
Тогда в силу теоремы 3.4.1 (см. стр. 174) существует такой функционал fo Є В*, что
fo(y) = 1 , fo(Cl(Im(T))) = 0.
181
Следовательно,
V(x є Bi) : < fo | T(x) >=< T*(fo) | x >= 0. Отсюда вытекат, что
T*(fo) = 0,
и поэтому
fo є Ker(T*). (3.80)
Из (3.79) и (3.80) следует, что если справедливо (3.78), то
y є N(Ker(T*)) (3.81)
Поэтому
Cl(Im(T)) D n(Ker(T*)). (3.82)
Из (3.77) и (3.82) вытекает утверждение теоремы. Пусть Bi, 1 < i < 3 -банаховы пространства,
Ti є L(Bi ь B2) , T2 є L(B2 ь B3)
Определение 3.4.7. Определенный формулой
Bi ь B3: x ь Ti(x) ь T2(Ti(x))
T2
Ti
T2 • Ti є L(Bi ь B3) , T2 • Ti(x) = T2(Ti(x)). (3.83)
Очевидно, что
HT2 • Ti(x) | B3I < ||T2 | L(B2 ь B3)|| • ||Ti(x) | B21 < HT2 | L(B2 ь B3)| • ||Ti | L(Bi ь B2)| • ||x | BJ.
Поэтому
||T2 • Ti | L(Bi ь B3)|| < ||T2 | L(B2 ь B3)| • ||Ti | L(Bi ь B2J. (3.84)
Определение 3.4.8. Тождественным (или единичным) отображением (оператором) мы называем отображение (оператор) id є L(B ь B), которое определено формулой
V(x є B) : id(x) = x.
182
Тождественное отображение на любом пространстве мы будем обозначать одним и тем же символом id.
Таким образом, определение обратного оператора может быть записано в виде:
T-1: T-1 . T = T • T-1 = id. (3.86)
Очевидна
Лемма 3.4.1. Справедливо равенство
(T2 • T1)* = T1* • T2* Є L(B* — B*) (3.87)
Теорема 3.4.9. Оператор (T*)-1 существует в том и только том слу-
T- 1
(T*)-1 = (T-1)*.
T-1
сопряженным операторам в (3.86), мы получаем:
T* • (T= (T• T* = id. (3.89)
( T *) - 1
(T*)-1 Є L(B1* — B2*) ( T**) -1 T**
B1 С B1** T
Ker(T) С Ker(T**) = 0. (3.90)
Простанство B1 замкнуто в пространстве B**, и множество Im(T) С B2
