Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Более того, оказывается, отношение энергии маятника H к частоте to при медленном изменении параметров почти не меняется, хотя сами энергия и частота могут измениться сильно. Такие величины, которые мало меняются при медленном изменении параметров, физики назвали адиабатическими инвариантами.
Легко сообразить, что адиабатическая инвариантность отношения энергии маятника к частоте есть утверждение физического характера, т. е. без дополнительных предположений неверное. Действительно, изменяя длину маятника сколь угодно медленно, но выбирая фазу колебаний, при которой длина увеличивается
§ 52. УСРЕДНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ
263
и уменьшается, можно раскачать маятник (параметрический резонанс). Чувствуя это, физики предложили формулировать определение адиабатической инвариантности так: лицо, меняющее параметры системы, не должно видеть, в каком состоянии находится система (рис. 227). Дать этому определению строгий математический смысл — весьма деликатная, до сих пор не решенная задача. К счастью, мы можем обойтись суррогатом, заменяя невмешательство лица, меняющего параметры, во внутренние дела системы требованием того, чтобы изменение параметров было плавным, а именно, два раза непрерывно дифференцируемым.
Л фитиробано
X
Рис. 227. Адиабатичес- Рис. 228. Адиабатичес-
кое изменение длины кий инвариант од-
маятника номерной системы
Точнее, пусть H (р, q; к) — фиксированная дважды непрерывно дифференцируемая функция к. Положим к = et и будем рассматривать полученную систему с медленно меняющимся параметром к = et:
P =--> Ч ==-ap-> H = H(p,q;et). (*)
Определение. Величина J (р, q\ к) называется адиабатическим инвариантом системы (*), если для всякого и ^> 0 существует є0 ]> 0 такое, что если О <С є < е0, О <С ? < 1/е, то
I / (P (*), Я (О; в*) ~I(P (0), 5(0); 0) |< х.
Очевидно, всякий первый интеграл является также адиабатическим инвариантом.
Оказывается, всякая одномерная система (*) имеет адиабатический инвариант. А именно, адиабатическим инвариантом является переменная действия в соответствующей задаче с постоянными коэффициентами.
Предположим, что фазовые траектории системы с гамильтонианом H (р, q; к) замкнуты. Определим функцию / (р, q; к) следующим образом. При фиксированном к функции Гамильтона H (р, q; к) соответствует определенный фазовый портрет (рис. 228). Рассмотрим замкнутую фазовую траекторию, проходящую через точку (р, q). Она ограничивает на фазовой плоскости некоторую площадь. Обозначим эту площадь через 2л/ (р, q; к). На каждой фазовой траектории (при данном к) I = const. Очевидно, / не что иное, как переменная действия (см. § 50).
264
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
Теорема. Если частота рассматриваемой системы (*) со (/, 1K) не обращается в 0, то I (р, д; Я) — адиабатический инвариант.
Е. Доказательство адиабатической инвариантности действия.
При фиксированном к в системе (*) можно ввести переменные действие — угол /, ср каноническим преобразованием, зависящим от К:
p,q»4,<p: ф=ю (/,*,),/ = 0, (о(1,Ц = -^~, H0 = H0(I, К).
Обозначим через S (I, q; Я) производящую (многозначную) функцию этого преобразования:
as as
P = "?-' «P = W
Пусть теперь % = Et. Поскольку переход от переменных р, q к переменным /, ср совершается теперь зависящим от времени каноническим преобразованием, уравнения движения в новых переменных /, ср имеют гамильтонов вид, но с функцией Гамильтона (см. § 45, А, стр. 213)
^ = Яо+-|г = Я0 + є-|^.
Задача. Докажите, что ^7- S (I, q; К) — однозначная функция на
ок
фазовой плоскости.
Указание. Неоднозначность S сводится к прибавлению кратных
2я1.
Мы получаем, таким образом, уравнения движения в виде
ф = со (/, к) + е/ (/, ср; к), f = —d2S/dIdk, 1 = Eg (I', ср; к), g = dzS/dq> дк,
к = е.
Поскольку юфО, применима теорема об усреднении (стр. 259). Усредненная система имеет вид
/ = eg, А = е.
и „ в as as , -
g = , a --однозначная] функция на окружности
/ = const. Поэтому f = (2я)-1 § gdq> = 0, и в усредненной системе / не меняется вовсе: J (t) = J (0). По теореме об усреднении
I / (t) — / (0) |< се для всех t, 0 < t < 1/е,
что и требовалось доказать.
Пример. Для гармонического осциллятора (см. рис. 217)
и fl2 2 і ьа а т 1 lA2fc l/"2fe h ,
V=-2-P2 + -2-q2, ^-ST«-1.!- Ь ^U-' <o = «6,
S 52. УСРЕДНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ
265
т. е. адиабатическим инвариантом является отношение энергии к частоте.
Задача. Длина маятника медленно увеличивается вдвое (I = I0 (1 4- et), 0 < t < l/є). Как изменяется амплитудный угол отклонения gtnax? ^ ^
Решение. / =-g-Z3/2g1/2gmax; поэтому
1(0) \№
ymax (0 = Яшах (0)(-у^")
В качестве второго примера рассмотрим рп движение абсолютно упругого твердого шарика массы 1 между абсолютно упругими стенками, расстояние между которыми, I, медленно меняется (рис. 229).
Можно считать, что точка движется в «прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины», и что фазовые траектории — прямоугольники площади 2vl, где v — скорость шарика. В этом случае адиабатическим инвариантом оказывается произведение vi скорости шарика на расстояние между стенками *).