Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Г. Доказательство теоремы об усреднении. Вместо переменных I введем новые переменные JP
P = I + Ek(I, ф), (3)
где 2я — периодические по ф функции Tt подберем так, чтобы вектор P удовлетворял более простому дифференциальному уравнению.
260
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ B ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
Скорость изменения P (t), согласно (1) и (3), равна
= е Ф) + -W »W] + е2 "а"О + е2 -s-/- (4)
Предположим, что замену (3) можно обратить, так что
I = P + ей, (Р, ф, є) (5)
(где функции Л 2л-периодичны ПО ф).
Тогда из (4), (5) следует, что P (t) подчиняется системе уравнений
P = є [fir (Р, ф) + to (P)] + JB, (6)
где «остаточный член» JB — второго по є порядка малости:
I JS |< с2е2, C2 (C1, с3, C4) > 0, (7)
если только
Ii ь> Ib < C1, И / |Ь < C1, И g Ib < C1, И fc |Ь < C3,
Il Л Ib < с,. (8)
Постараемся теперь выбрать замену переменных (3) так, чтобы обратить в 0 член с є в (6). Мы получаем для fc уравнение
дк___1_
<9ср а 0'
Вообще говоря, такое уравнение неразрешимо в классе периодических по ф функций к. Действительно, среднее значение (по ф) левой части равно всегда 0, а среднее значение правой части может и не равняться 0.
Поэтому мы не можем выбирать к так, чтобы убить целиком часть с є в (6). Однако мы можем убить всю «периодическую» часть д,
3 (Р,<р) = 0 (P. «P)-^(P).
полагая
fc(PfV)e-Ji^U^p. (9)
о
Итак, определим функцию к формулой (9). Тогда, ввиду условий 1) и 2) доказываемой теоремы, функция fc удовлетворяет оценке И к ||с* <С с3, где C3 (C1, с) ]> 0. Чтобы установить неравенства (8), остается оценить h. Для этого прежде всего нужно показать что замена (3) обратима.
Зафиксируем положительное число а.
§ 62. УСРЕДНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ
261
Лемма. Если г достаточно мало, то ограничение отображения (3)*)
I -> I + Ek, где I к |с»{С) < с3,
на область G — а (состоящую из точек, входящих в G с (!,-окрестностью) есть диффеоморфизм. Обратный диффеоморфизм (5) в области G — 2а удовлетворяет оценке \ h \& <^ C4 с некоторой постоянной C4 (а, C3) ]> 0.
Доказательство. Нужная оценка непосредственно вытекает из теоремы о неявной функции. Некоторое затруднение вызывает лишь взаимная однозначность отображения I -*-I + Ek в области G — а.
Заметим, что функция к удовлетворяет в области G — а условию Липшица (с некоторой постоянной L (a, C3)). Рассмотрим две точки I1, I2 из G — а. При достаточно малом є (а именно, при L е < 1) расстояние между E^(J1) и Ek(I2) будет
Меньше 111 — I2 I. ПОЭТОМУ J1 + Ek(I1) ф I2 Л- Рис. 226. Доказа-
+ еЩ12). Итак, отображение (3) в G — а взаим- ^бТсредаени^1 но однозначно, и лемма доказана.
Из леммы вытекает, что при достаточно малом є справедливы все оценки (8). Значит, справедлива также оценка (7).
Сравним теперь системы дифференциальных уравнений для J
J = Eg(J) (2)
и для JP; последняя ввиду (9) принимает вид
P = eg (P)+ В. (6')
Поскольку разница между правыми частями порядка ^e2 (см. (7)), то за время t ^ l/є решения разойдутся на расстояние I P — J J ^ E (рис. 226). С другой стороны, 11 — P | = = E \ k \ е. Итак, разность 11 — J \ при t ^ l/є имеет порядок ^ е, что и требуется.
Переходя к аккуратным оценкам, введем величину
z («) = P («) - J (і). (10)
Тогда из (6'), (9) вытекает
z = E(g(P)-g(J)) + R = e-?fLz + R',
дР
где J R' I < c%s + све I z |, если отрезок (Р, J) лежит в G — а. В этом предположении мы находим
I it I < cei I z I + с2еа (где c6 = с5 + c1), I г (0) |< с3е. (11)
Лемма. Если І * І < я I » I + Ь, I г (0) | < а"; а, Ъ, d, t > 0, то Iz (t) I < (d + bfle"'.
*) При любом фиксированном значении параметра ср.
262
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
Доказательство. | г (г) | не превосходит решения у (t) уравнения у = ау + 6, у (0) = d. Решая зто уравнение, находим у — Ceat, Ceat = Ъ, С = e~°'b, С (0) = d, С < d + bf, что и требовалось доказать.
Теперь из (11), в предположении, что отрезок Р, «Г лежит в G — а (рис. 226),
I Я W К (c3e + c2b2^«84.
Отсюда следует, что при 0 <J t <J 1/е
I г (01< с7є, с, = (с3 + с2)Л
Мы видим теперь, что если а = d/З и е достаточно мало, то отрезок P (t), «Г (г) (J <=^ 1/е) весь лежит внутри G — а, и, следовательно,
I P (t) — J (t) J < с8є при всех 0 < t < 1/е.
С другой стороны, I P (г) — I {t) I < I eft |< с3е. Итак, при всех t, 0 < t < 1/е,
I I (t) — J (t) |< с„е, с, = c8 + с3 > 0,
и теорема доказана.
Д. Адиабатические инварианты. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы, с функцией Гамильтона H (р, q; К), зависящей от параметра к.
Примером может служить маятник:
21» "т" s 2 '
в качестве параметра к можно взять длину I или ускорение силы тяжести g.
Предположим, что параметр со временем медленно меняется. Оказывается в пределе, когда скорость изменения параметра стремится к 0, появляется замечательное асимптотическое явление: две величины, вообще независимые, становятся функциями одна другой.
Предположим, например, что длина маятника медленно (по сравнению с его собственными колебаниями) изменяется. Оказывается, амплитуда его колебаний становится тогда функцией длины маятника. Например, если очень медленно увеличить вдвое длину нити маятника, а затем очень медленно ее уменьшить до прежней величины, то в конце этого процесса амплитуда колебаний станет такой же, какой была вначале.
