Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Б. Принцип усреднения. Пусть I, ff — переменные действие — угол в интегрируемой («невозмущенной») системе с функцией
*) К этому классу относится, например, движение по инерции на многообразиях отрицательной кривизны.
§ 52. УСРЕДНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ
257
Гамильтона H0 (Г):
? качестве близкой «возмущенной» системы рассмотрим систему
ф =ю(1")4-є/(Г, <р),
I= W(I^ Ф)'
ГДЄ і' <С 1-
Забудем временно о гамильтоновости системы и рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений (1), заданную на прямом произведении Tte X G A-мерного тора Tte = = {<р = («P1, . . ., фк) modd 2л.} и области G Z-мерного пространства G CZ R' = {I = (I1, . . ., /;)}- При є = 0 движение (1) условно-периодическое, <; й-частотное, с ^-мерными инвариантными торами.
Принцип усреднения для системы (1) состоит в ее замене другой системой, называемой усредненной системой:
2л 2л
& = eg (J), g(J) = (2л)-к J ... J g (J, <p) Ap1.. • d<pK (2)
о о
в Z-мерной области GCZ R' = {«^ = (Z1, . • ., Ji)}-
Утверждается, что система (2) «хорошо аппроксимирует» систему (1).
Заметим, что этот принцип — не теорема, не аксиома и не определение, а физическое предложение, т. е. расплывчато сформулированное и, строго говоря, неверное утверждение.
Такие утверждения часто бывают плодотворными источниками математических теорем.
Рассматриваемый принцип усреднения явно встречается уже у Гаусса (при изучении возмущений планет друг другом Гаусс предложил размазать массу каждой планеты по ее орбите пропорционально времени и заменить притяжение планет притяжением полученных колец). Тем не менее удовлетворительное исследование связи между решениями систем (1) и (2) в общем случае не проведено и посейчас.
При замене системы (1) системой (2) мы откидываем в правой части слагаемое eg (I', q) = eg(I, ф) — eg (I). Это слагаемое имеет порядок є, такой же, как и оставленное слагаемое eg. Чтобы понять различие роли слагаемых g и g в д, рассмотрим простейший пример.
Задача. Рассмотрите случай k = I = 1,
ф = © ф 0, 1 = eg (ф).
258
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
Покажите, что при 0<^*<^—
\I(t)-J (t). I < се, где J(t) = I (Q) + eg*. Решение.
t t Wt
/(?)-/(0)= ^ eg (Cf0+ tot) dt= Jef <ft + -J J g(q>)d(p =
O OO
= eg* + -J-A(C0*),
<p
где h ((f) = § g (ф) d(f — периодическая и, следовательно, ограни-о
ченная функция.
Таким образом, изменение / со временем состоит из двух частей: осцилляции порядка є, зависящих от g, и систематической «эволюции» со скоростью eg (рис. 224).
Принцип усреднения основан на представлении о том, что и в общем случае движение системы (1) можно разделить на «эволюцию» (2) и малые осцилляции. В общем виде такое ^ представление не обосновано, а сам принцип
Ht) неверен.
W) Тем не менее применим его к гамильтоно-вой системе (1):
-j-^ ф = -I1- (E0 (T) + EH1 (I, ср)),
Рис.224. Эволюция V ° /гт / у\ і „ гт /тг \\
и осцилляции 4 —--^ф- V-" о V* / I ^111Vх1 Ч>))-
В качестве правой части усредненной системы (2) получим тогда
- (2яГ $ -^r^1(J, cp)dcp = 0. о
Иными словами, в гамилътоновой невырожденной системе эволюции нет.
Один из вариантов этого совсем нестрогого вывода приводит к так называемой теореме Лапласа:
Большие полуоси кеплеровых эллипсов планет не имеют вековых-возмущений. I
Сказанного достаточно, чтобы убедиться в важности принципа усреднения; сформулируем теперь теорему, обосновывающую этот принцип в одном весьма частном случае — случае одночастотных колебаний (Jt = 1). Эта теорема показывает, что усредненное уравнение правильно описывает эволюцию на большом отрезке времени (0 < * < 1/є).
I 52. УСРЕДНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 259
В. Усреднение в одночастотной системе. Рассмотрим систему 1+1 дифференциальных уравнений
Ф = о)(Г) + є/(Г, ф), І ф mod2л Є S1,
I = CgT(J1 ф), )/GGCZВЛ ()
где / (I, ф + 2л) == / (I, ф), д (Г, ф + 2л) = д (I, ф), и «усредненную» систему из I уравнений
2я
J = ^g(J), где g(J) = -^-^ g(J,q>)dq>. (2)
о
Обозначим через І (і), ф (і) решение системы (1) с начальным условием I (0), ф (0), а через J (і) — решение системы (2) с тем же начальным условием J (0) = I (0) (рис. 225).
Теорема. Пусть 1) функции со, /, д on- y^^^&d ределены, когда I меняется в ограниченной области G, и в этой области ограничены со своими производными до второго порядка включительно:
Ii «і h 9 Ho(GxS') < C1;
2) в области G
/¦»-\\-\n. Рис. 225. Теорема
w \-L) ^> С ^> V, об усреднении
3) при 0 ^ t ^ 1/е точка J (t) принадлежит G с окрестностью радиуса d:
J (t)E=G-d. Тогда при достаточно малом є (0 < е < е0)
I I (t) — J (t) I < с9е для всех t, 0 <^ t <! 1/е,
где постоянная C9 ]> 0 зависит от C1, с, d, но не от е.
Некоторые приложения этой теоремы будут даны ниже («адиабатические инварианты»). Заметим, что основная идея доказательства этой теоремы (замена переменных, убивающая возмущение) важнее самой теоремы; это — одна из основных идей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений; она встречается уже в элементарном курсе в виде «метода вариации постоянных».
