Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
20
ГЛ. 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
потенциальную энергию
Если поместить на место одного грузика два таких же, то окажется, что при том же растяжении пружины ускорение в два раза меньше.
Экспериментально установлено, что для любых двух тел отношение ускорений X1Zx2 при одинаковом растяжении пружины постоянно (не зависит от степени растяжения пружины и от ее свойств, но лишь от самих тел). Величина, обратная этому отношению, называется отношением масс:
Xi _ TTl2 Xz т1 *
За единицу массы принимается масса какого-нибудь фиксирован-лого тела, например 1 л воды. Опыт показывает, что массы всех тел положительны.
Произведение массы тела на ускорение тх не зависит от тела, а является характеристикой растяжения пружины. Эта величина называется силой, действующей на тело со стороны пружины.
За единицу силы принимается «ньютон». Например, на 1 л воды, подвешенный на пружине на поверхности Земли, пружина действует с силой в 9,8 H (= 1 кгс).
Г. Пример 4. Потенциальная система. Пусть Езп = E3 X X ... X E3 — конфигурационное пространство системы п точек в евклидовом трехмерном пространстве E3. Пусть U: E371 -*• -> R — дифференцируемая функция, и пусть щ, . . ., тп — положительные числа.
Определение. Движение п точек масс щ, . . ., тп •в потенциальном поле с потенциальной энергией U задается системой дифференциальных уравнений
m&i = — , і = 1,.... п. (4)
Уравнения движения в примерах 1—3 имеют как раз такой вид. В таком же виде записываются уравнения движения большого числа многих других механических систем.
Например, небесно-механической задачей трех тел называется задача (4), в которой
Jj _ IUxIU2 т2ГПз ТПдЩі
~ II Xi — X2 Il 1? — JC3II ~~ \\xa— Xi\\
К виду (4) могут быть приведены некоторые дифференциальные уравнения совсем другого происхождения, например уравнения -электрических колебаний.
В следующей главе мы будем главным образом заниматься ,исследованием системы дифференциальных уравнений (4).
ГЛАВА 2
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
В большинстве случаев (например, в задаче трех тел) не удается ни решить систему дифференциальных уравнений движения, ни достаточно полно исследовать поведение решений. В этой главе рассматривается несколько простых, но важных задач, в которых уравнения Ньютона решаются.
§ 4. Системы с одной степенью свободы
В этом параграфе изучается фазовая плоскость дифференциального уравнения (1). Для качественного исследования такого уравнения достаточно одного взгляда на график потенциальной энергии. Кроме того, уравнение (1) интегрируется в квадратурах.
А. Определения. Системой с одной степенью свободы мы будем называть систему, описываемую одним дифференциальным уравнением
х = f (х), igR. (1)
Кинетической энергией называется квадратичная форма
т=4-*..
Потенциальной энергией называется функция
X X0
Знак в этой формуле выбран так, чтобы потенциальная энергия камня была тем больше, чем выше он находится.
Заметим, что потенциальная энергия U определяет /. Поэтому Для задания системы (1) достаточно указать потенциальную энергию. Прибавление постоянной к потенциальной энергии не меняет Уравнения движения (1).
Полной энергией называется сумма
E = T + U.
Таким образом, полная энергия — это функция E (х, х).
Б. Теорема (закон сохранения энергии). Полная энергия движущейся точки при движении (1) сохраняется: E (х (t), х (t)) не зависит от t.
22 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
*) Здесь для простоты предполагается, что решение <р определено на всей оси времени R.
Доказательство.
+ ff) = **+-g-*=*(*-/(*)) = 0, ч. т. д.
В. Фазовая плоскость. Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений
і = У, У — f (*)• (2)
Рассмотрим плоскость с координатами х, у. Эта плоскость называется фазовой плоскостью уравнения (1). Точки фазовой плоскости называются фазовыми точками. Правая часть системы (2) определяет на фазовой плоскости векторное поле. Это поле называется векторным полем фазовой скорости.
Решение системы (2) — это движение фазовой точки по фазовой плоскости <р: R -> R2, при котором скорость движущейся точки в каждый момент времени равна вектору фазовой скорости в том месте, где фазовая точка в данный момент времени находится *).
Образ отображения <р называется фазовой кривой. Таким образом, фазовая кривая задается параметрическими уравнениями
X = Ф (t), у = ф (t).
Задача. Докажите, что через каждую фазовую точку проходит одна и только одна фазовая кривая.
Указание. См. учебники по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Заметим, что фазовая кривая может состоять всего из одной точки. Такая точка называется положением равновесия. Вектор
фазовой скорости в положении равновесия равен нулю.
Закон сохранения энергии позволяет легко находить фазовые кривые. Действительно, на каждой фазовой кривой значение полной энергии постоянно. Поэтому каждая фазовая кривая целиком принадлежит одному множеству уровня энергии E {х, у) = h.
Г. Примеры.
