Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 6

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 195 >> Следующая


в RN.

Рис. 3. Траектория движения точки

Рве. 4. Мировые линии

sc: R Rw, N = Зга,

*) Графиком отображения /: А —»В называется подмножество прямого произведения А X В, составленное из всех нар вида (в, / (а)), а є А.

16

ГЛ. 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ

деляется ее начальным положением (ж (t0) €= Rw) и начальными скоростями (Je (t0) Є5 R^).

В частности, начальное положение и скорости определяют ускорение. Иными словами, существует функция F: X R^ X R ->¦ ->¦ R^ такая, что

X = F (х, ас, t). (1)

Уравнение (1) положено Ньютоном в основу механики. Оно называется уравнением Ньютона.

По теореме существования и единственности теории обыкновенных дифференциальных уравнений функция F и начальные условия X (t0), sc (t0) однозначно определяют движение *).

Вид функции F для каждой конкретной механической системы определяется экспериментально. С математической точки зрения вид F для каждой системы составляет определение этой системы.

Д. Ограничения, налагаемые принципом относительности. Принцип относительности Галилея утверждает, что в физическом пространстве — времени имеется избранная галилеева структура

(«класс инерциальных систем координат»), ^х У обладающая следующим свойством.

1 у1 ооладающая следующим свойством.

Если подвергнуть мировые линии всех точек любой механической системы **)

- ¦f- пйнлми и тпм.м 1«v Р.пл.илрр.йИ nnenfirmanan.-

t одному u тому же галилееву преобразова-~*" нию, то получатся мировые линии той же рис. 5. принцип относи- системы (с новыми начальными условиями) тельности Галилея (рис. 5). Это налагает на вид правой ча-

сти уравнения Ньютона, записанного в инерциальной системе координат, ряд условий: уравнение (1) должно быть инвариантно относительно группы галилеевых преобразований.

*) При некоторых условиях гладкости, которые здесь, конечно, предполагаются выполненными. Движение определяется уравнением (1), вообще говоря, лишь на некотором интервале оси времени. Для упрощения мы будем считать, что этот интервал есть вся ось времени, что выполняется в большинстве задач механики.

**) При формулировке принципа относительности следует иметь в виду, что он относится лишь к замкнутым физическим (в частности, механическим) системам, т. е. что мы должны включать в систему все тела, взаимодействие которых играет роль при изучении данного явления. Строго говоря, следовало бы включать в систему все вообще тела Вселенной. Но опыт показывает, что часто можно пренебречь влиянием многих из них: например, при изуче-пии движения планет вокруг Солнца можно пренебречь притяжением других звезд и т. п.

С другой стороны, при изучении движения тел в окрестности Земли система не замкнута, если в нее не включена Земля, при изучении движения самолета система не замкнута, пока в ней не включен окружающий самолет воздух, и т. д. В дальнейшем под термином «механическая система» понимается в большинстве случаев замкнутая система, когда же будет идти речь о незамкнутых системах, это будет специально оговариваться (см., например, § 3).

•г. ГАЛИЛЕЕВА ГРУППА И УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА

17

Пример 1. Среди галилеевых преобразований имеется сдвиг по времени. Инвариантность относительно сдвигов по времени означает, что «законы природы остаются постоянными», т. е. если ас = <р (t) — решение уравнения (1), то для всякого sER решением будет также ас = <р (t + s).

Отсюда вытекает, что правая часть уравнения (1) в инерциалъ-ной системе координат не может зависеть от времени:

х = Ф(ас, ас).

Замечание. Дифференциальные уравнения, правые части которых зависят от времени, встречаются в следующей ситуации.

Предположим, что мы изучаем часть I механической системы I + II. Тогда влияние части II на часть I можно иногда заменить изменением со временем параметров системы уравнений, описывающих движение части I.

Например, влиянием Луны на Землю можно пренебречь при исследовании большинства явлений на Земле. Однако при исследовании приливов это влияние нужно учитывать, заменяя притяжение Луны периодическим изменением силы тяжести на Земле.

Уравнения с переменными коэффициентами могут появиться также в результате формальных операций при решении задач.

Пример 2. Среди галилеевых преобразований имеются сдвиги в трехмерном пространстве. Инвариантность относительно таких сдвигов означает, что пространство однородно или «имеет одинаковые свойства во всех своих точках». То есть, если асг = = 4>i U) (і = 1» • - ч п) — движение системы п точек, удовлетворяющее (1), то для всякого г ЄЕ R3 движение фг (t) + г (і = 1, . . . . . ., п) также удовлетворяет уравнению (1).

Отсюда вытекает, что правая часть уравнения (1) в инерциалъ-ной системе координат может зависеть лишь от «относительных координат-» Xj — хк.

Из инвариантности относительно перехода к равномерно движущейся системе координат (что не меняет SCj и ас, — 3?, но прибавляет ко всем Xj постоянный вектор v) вытекает, что правая часть уравнения (1) в инерциальной системе координат может зависеть лишь от относительных скоростей
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed