Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
В. Арнольд
ЧАСТЬ I НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА
Ньютонова механика изучает движение системы материальных точек в трехмерном евклидовом пространстве. В евклидовом пространстве действует шестимерная группа движений пространства. Основные понятия и теоремы ньютоновой механики (даже если они и формулируются в терминах декартовых координат) инвариантны относительно этой группы *).
Ньютонова потенциальная механическая система задается массами точек и потенциальной энергией. Движениям пространства, оставляющим потенциальную энергию неизменной, соответствуют законы сохранения.
Уравнения Ньютона позволяют исследовать до конца ряд важных задач механики, например задачу о движении в центральном иоле.
ГЛАВА 1 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
В этой главе описаны основные экспериментальные факты, лежащие в основе механики: принцип относительности Галилея и дифференциальное уравнение Ньютона. Здесь рассмотрены ограничения на уравнения движения, накладываемые принципом относительности, и приведены простейшие примеры.
§ 1. Принципы относительности и детерминированности
В этом параграфе вводится и обсуждается понятие инерциальной системы координат. Математически точная формулировка утверждений этого параграфа приведена в следующем параграфе.
В основе классической механики лежит ряд экспериментальных фактов **). Перечислим некоторые из них.
А. Пространство и время. Наше пространство трехмерно и евклидово, а время — одномерно.
*) и даже относительно более широкой группы галилеевых преобразований пространства — времени.
**) Все эти «экспериментальные факты» верны лишь приближенно и более точными экспериментами опровергаются. Чтобы избежать громоздких выражений, мы не будем в дальнейшем этого оговаривать и будем говорить о наших математических моделях так, как если бы они точно описывали фп-вические явления.
12
ГЛ. і. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
Б. Принцип относительности Галилея. Существуют системы координат (называемые инерциальными), обладающие следующими двумя свойствами:
1) Все законы природы во все моменты времени одинаковы во всех инерциальных системах координат.
2) Все системы координат, движущиеся относительно инер-циальной равномерно и прямолинейно, инерциальны.
Иначе говоря, если система координат, связанная с Землей, инерциальна, то экспериментатор, находящийся в равномерно и прямолинейно движущемся относительно Земли поезде, не может обнаружить движение поезда по опытам, проводящимся целиком внутри вагона.
В действительности система координат, связанная с Землей, инерциальна лишь приближенно. С большей точностью инерциальны системы координат, связанные с Солнцем, со звездами и т. д.
В. Принцип детерминированности Ньютона. Начальное состояние механической системы (совокупность положений и скоростей точек системы в какой-нибудь момент времени) однозначно определяет все ее движение.
Мы не успеваем удивиться этому факту, так как узнаем его очень рано. Можно представить себе мир, в котором для определения будущего системы нужно в начальный момент знать также и ускорения. Опыт показывает, что наш мир не таков.
§ 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона
В этом параграфе определяется и исследуется группа галилеевых преобразований пространства — времени. Далее рассматриваются уравнение Ньютона и простейшие ограничения, накладываемые на его правую часть свойствами инвариантности относительно преобразований Галилея *).
А. Обозначения. R означает множество всех вещественных чисел. Через R" обозначается n-мерное вещественное линейное пространство.
Аффинное n-мерное пространство Ап отличается от R" тем, что в нем «не фиксировано начало координат». Группа R" дей-с+? ствует в Ап как группа параллельных переносов (рис. 1):
а н- а + & (а Є Ап, Ъ Є Rn, а + Ъ <= Ап).
Рис. 1. Параллельный 1ТаКИМ <>браЗОМ, СУММа ДВУХ ТОЧЄК Ап
перенос не определена, а разность определена и
есть вектор из R".] Евклидова структура в линейном пространстве Rn — это положительно-определенная билинейная симметрическая форма, на-
*) Читатель, не испытывающий потребности в математических формулировках утверждений § 1, может пропустить этот параграф.
§ 2. ГАЛИЛЕЕВА ГРУППА И УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА
13
зываемая скалярным произведением. Скалярное произведение позволяет определить расстояние
P (ж, У) = Il ж — У I! = Y(x — у,х — у)
между точками соответствующего аффинного пространства А".
Аффинное пространство с введенным таким образом расстоянием называется евклидовым пространством и обозначается Еп.
Б. Галилеева структура. Галилеева пространственно-временная структура включает следующие три элемента:
1) Мир — четырехмерное аффинное *) пространство А4. Точки А* называются мировыми точками или событиями. Параллельные переносы мира А* образуют линейное пространство R4.
2) Время — линейное отображение f. R4 ->-R линейного пространства параллельных переносов мира на вещественную «ось времени». Промежутком времени от события а є А* до события b ЄЕ А* называется число t (Ъ — а) (рис. 2). Если t (Ь — а) — О, то события а и 6 называются одновременными.
