Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Теория бифуркаций и теория возмущений (не только гамильтоновых, но и общих динамических систем) рассмотрены в учебнике: Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— M.: Наука, 1978 (английское издание: Arnold V. I. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations.— Springer, 1988.— 325 p.— вначительно полнее). Новую информацию содержат также доклад «Теория бифуркаций и ее приложения в математике и механике» на XVII Международном конгрессе по "теоретической и прикладной механике, Гренобль, 1988 г. и обзор В. И. Арнольда, В. С. Афраймовича, Ю. С. Ильяшенко и Л. П. Шильникова и также весь выпуск «Динамические системы-5» энциклопедической серии «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления» (M.: ВИНИТИ, 1986). Второй выпуск этой серии, написанный Д. В. Аносовым, Я. Г. Синаем и др., посвящен зр-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
годическим проблемам теории динамических систем, в том числе механических.
Обнаруженные во всех этих теориях факты потенциально имеют широчайший круг приложений, но, поскольку они были открыты лишь недавно, и изложены лишь в специальной литературе, их применение сдерживается пока относительной труднодоступно-стью математических текстов для прикладников. Я надеюсь, что настоящая книга позволит овладеть зтими достижениями не только математикам, но и механикам, физикам и всем другим потребителям теории динамических систем, симплектической геометрии и вариационного исчисления.
В. И. Арнольд
Ноябрь 1988 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия: дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение.
Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы).
С помощью этого аппарата разбираются все основные вопросы динамики системы, включая теорию колебаний, теорию движения твердого тела и гамильтонов формализм. Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону явлений. В этом отношении книга ближе к курсам теоретической механики для физиков-теоретиков, чем к традиционным курсам теоретической механики, читаемым математикам.
Значительная часть книги посвящена вариационным принципам и аналитической динамике. Характеризуя аналитическую динамику в своих «Лекциях о развитии математики в XIX столетии», Ф. Клейн писал, что «физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего». Развитие науки в последующие годы решительно опровергло зто замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механики, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналитической динамики.
Связи классической механики с другими отделами математики и физики многочисленны и разнообразны. «Добавления» в конце
10
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
книги посвящены некоторым из этих связей. В качестве приложений аппарата классической механики здесь рассматриваются основы римановой геометрии, динамика идеальной жидкости, кол-могоровская теория возмущений условно-периодических движений, коротковолновые асимптотики для уравнений математической физики и классификация каустик в геометрической оптике.
Эти добавления рассчитаны на любознательного читателя и не входят в программу обязательного общего курса. Некоторые из них могут составить основу специальных курсов (например, по асимптотическим методам теории нелинейных колебаний или по квазиклассическим асимптотикам). В добавления внесен также ряд сведений справочного характера (например, список нормальных форм квадратичных гамильтонианов). В то время как в основных главах книги автор старался проводить все доказательства как можно подробнее, избегая ссылок на другие источники, добавления состоят в основном из сводок результатов, доказательства же заменены ссылками на литературу.
Основу книги составил пол утор агодовой обязательный курс классической механики, читавшийся автором студентам-математикам 3-го и 4-го года обучения на механико-математическом факультете МГУ в 1966—1968 гг.
