Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Обухов A.M. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа // ДАН СССР.—1969.— Т. 184, № 2.
Фаддеев Л.Д. К теории устойчивости стационарных плоско-параллельных течений идеальной жидкости // Краевые задачи математической физики. Т. 5 (Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 21).— M.; Л.: Наука, 1971.— С. 164—172.
А. Обозначения. Присоединенное и коприсоединенное представления. Пусть G — вещественная группа Ли, д — ее алгебра Ли, т. е. касательное пространство к группе в единице, снабженное операцией коммутирования [,].
Группа Ли действует на себе левыми и правыми сдвигами: для каждого элемента g группы G определены диффеоморфизмы
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
285
группы в себя
Le:G -+ G, LBh = gh; Rg:G G, Rgh = hg.
Индуцированные отображения касательных пространств будем обозначать через
Lg,: TGh -* TGgh\ Rg* '• TGh —*¦ TGhg
для всякого h из G.
Диффеоморфизм Rg-iLg является внутренним автоморфизмом группы. Он оставляет единицу группы на месте. Его производная в единице есть линейное отображение алгебры (т. е. касательного пространства к группе в единице) в себя. Это отображение обозначается через
Ad^: з з, Ad^ = (i?g-.Lg)*e
и называется присоединенным (adjoint) представлением группы.
Легко проверить, что Adg является гомоморфизмом алгебры, т. е. что
Ad8 [?, T]J = [Adgg, Ad8T]J, ?, t]Ej.
Ясно также, что Adgn = Ad^Ad/,.
Далее, рассмотрим Ad как отображение группы в пространство линейных операторов на алгебре: Ad (g) = Adg.
Отображение Ad дифференцируемо. Рассмотрим его производную в единице группы. Эта производная есть линейное отображение из алгебры в пространство линейных операторов на ней. Построенное отображение обозначается через ad, а его образ при действии на элемент | из алгебры через ad|. Таким образом, adg есть эндоморфизм алгебры, мы имеем
ad = Ad*e: 9 -> End 9, adg = -J- [=o Ade,g,
где e*6 — однопараметрическая группа с касательным вектором ?. Из написанной формулы легко вывести выражение для ad в терминах одной лишь алгебры:
ad|T] = II, т]].
Рассмотрим! дуальное к алгебре Ли 9 линейное пространство 9*. Это — пространство вещественных линейных функций на алгебре Ли. Иными словами, 9* есть кокасательное пространство к группе в единице, 9* = T*Ge.
Значение элемента 1 кокасательного пространства к группе в какой-либо точке g на элементе т] касательного пространства в той же точке мы будем обозначать круглыми скобками:
(Е, Ч)ЄВ,?Є T*Gg, т] ЄЕ TGe.
286
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Левый и правый сдвиги индуцируют в кокасательных пространствах операторы, дуальные к ЬеФ и Rg0. Мы обозначим их через
L*: T*Ggh —>• T*Ght R*: T*GH-+T*Gh
для всякого h из G. Эти операторы определяются тождествами
{L% г,) = (I, L80^), (Д*6, T1) == (Б,
Оператор, дуальный оператору Ad^, отображает кокасательное пространство к группе в единице в себя. Он обозначается через
Ad*: 9* -> 9*
и определяется тождеством
(Ad% г,) = (6, AdgT]).
Операторы Ad*, где g пробегает группу Ли G, образуют представление этой группы, т. е. выполняется соотношение
Ad*„ = Ad*Ad*.
Это представление называется коприсоединенным представлением группы и играет важную роль во всех вопросах, связанных с (лево) инвариантными метриками на группе.
Рассмотрим производную оператора Ad* по g в единице группы. Эта производная есть линейное отображение из алгебры в пространство линейных операторов на дуальном к алгебре пространстве. Указанное линейное отображение обозначается через ad*, а его образ при действии на элемент g из алгебры обозначается через ad|. Таким образом, adf есть] линейный оператор на дуальном пространстве к алгебре,
adf: в*-»-9*.
Легко видеть, что оператор ad* сопряжен с adg:
(ad*T]| ?) == (T)f adg?) для всех т) E= 9*, ? E= 9.
Иногда удобно обозначать действие ad* фигурными скобками:
adfrj = {?, T]}, где \ E= 9, 1Є 9*-
Таким образом, фигурная скобка означает билинейную функцию из 9 X 9* в 9*, связанную с коммутатором в алгебре тождественным соотношением
({?, ч), О = (ч. [?> Cl).
Рассмотрим орбиты коприсоединенного представления группы в дуальном пространстве алгебры. На каждой такой орбите имеется естественная симплектическая структура (называемая фор-
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
287
мой Кириллова, так как А. А. Кириллов первым использовал ее в своем исследовании представлений нильпотентных групп Ли). Таким образом, орбиты коприсоединенного представления всегда четномерны. Заметим также, что мы получаем серию примеров симплектических многообразий, рассматривая различные группы Ли и всевозможные орбиты.
Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления определяется следующей конструкцией. Пусть X — точка из дуального пространства к алгебре, \ — вектор, касательный в этой точке к ее орбите. Поскольку 9* — линейное пространство, мы можем считать вектор \, принадлежащий, честно говоря, касательному пространству к д* в точке х, лежащим в д*.
Вектор I можно (многими способами) представить в виде вектора скорости движения точки X в коприсоединенном представлении однопараметрической группы eat с вектором скорости 0Е9. Иными словами, каждый касательный к орбите точки х в коприсоединенном представлении группы вектор | выражается через подходящий вектор а из алгебры по формуле
