Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Теперь для доказательства гипотезы Больцмана (в рассматриваемом простейшем случае) достаточно проверить, что анализ стохастических свойств геодезических потоков на поверхностях отрицательной кривизны сохраняет силу в указанном предельном случае.
При подробном проведении доказательства оно оказывается весьма сложным (Синай Я. Г. Динамические системы с упругими отражениями // УМН.— 1970.— Т. 25, № 2.— С. 141 — 192; Синай Я. Г., Чернов Н. И. //УМН. — 1987. — Т. 42, № 3).
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
283
Добавление 2
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЬГХ МЕТРИК НА ГРУППАХ ЛИ И ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Эйлерово движение твердого тела можно описать как движение по геодезическим на группе вращений трехмерного евклидова пространства, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Значительная часть теории Эйлера связана лишь с этой инвариантностью и потому переносится на случай других групп.
Среди примеров, охватываемых такой обобщенной теорией Эйлера, движение твердого тела в многомерном пространстве и, что особенно интересно, гидродинамика идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости. В последнем случае в качестве группы выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема. Принцип наименьшего действия в этом примере означает, что движение жидкости описывается геодезической метрики, заданной кинетической энергией (при желании можно считать этот принцип математическим определением идеальной жидкости). Легко проверить, что указанная метрика (право) инвариантна.
Конечно, распространять результаты, полученные для конечномерных групп Ли, на бесконечномерный случай следует с осторожностью. Например, в трехмерной гидродинамике до сих пор нет теорем существования и единственности решений уравнений движения.
Тем не менее интересно посмотреть, к каким выводам приводит формальное перенесение свойств геодезических на конечномерных группах Ли на бесконечномерный случай. Эти выводы носят характер априорных предложений (тождеств, неравенств и т. п.), которые должны выполняться при всяком разумном понимании решений. В некоторых случаях получаемые здесь выводы удается затем строго обосновать непосредственно, минуя бесконечномерный анализ. і
Например, уравнения Эйлера движения тверого тела имеют своим аналогом в гидродинамике уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Теореме Эйлера об устойчивости вращений вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции отвечает в гидродинамике слегка обобщенная теорема Релея об устойчивости течений без точек перегиба профиля скоростей и т. д.
Из формул Эйлера легко извлечь также явное выражение для римановой кривизны группы с односторонне инвариантной метрикой. В применении к гидродинамическому случаю мы находим кривизну группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема.
Интересно отметить, что для достаточно хороших двумерных направлений кривизна оказывается конечной, и во многих случаях — отрицательной.
284
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Отрицательность кривизны вызывает экспоненциальную неустойчивость геодезических (см. добавление 1). В рассматриваемом случае геодезические — это течения идеальной жидкости. Поэтому из вычисления кривизны группы диффеоморфизмов можно извлекать некоторую информацию о неустойчивости течений идеальной жидкости.
Именно, кривизна определяет характерный путь, на котором отклонения начальных условий вырастают в е раз. Отрицательность кривизны приводит к практической непредсказуемости течения: на пути, большем характерного всего в несколько раз, отклонения начальных условий от расчетных увеличатся в сотни раз.
В этом добавлении кратко изложены результаты вычислений, связанных с геодезическими на группах с односторонне инвариантными метриками. Доказательства и дальнейшие подробности можно найти в следующих работах:
А г п о 1 d V. Sur Ia geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits //Annales de Г Institut Fourier.—1966.— T. 16, № 1. — P. 316—361.
Арнольд В. И. Об одной априорной оценке теории гидродинамической устойчивости // Изв. вузов. Математика.—1966.—№ 5, вып. 54.— С. 3—5.
Арнольд В. И. Замечания о поведении течений трехмерной идеальной жидкости при малом возмущении начального поля скоростей //ПММ.— 1972.— Т. 36, № 2.— С. 255—262.
Арнольд В.И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости//УМН.—1969.— Т. 24, № 3 (147).— С. 225—226.
Дикий Л. А. Замечание о гамилътоновых системах, связанных с группой вращений // Функц. анализ и его приложения.—1972.— Т. 6, № 4.
Ebin D. G.,Marsden J. Groups of diffeomorphisms and the motion of an incompressible fluid Il Annals of Math.—1970.— V. 92, № 1.— P. 102 — 163.
Ладыженская О. А. О разрешимости в малом нестационарных задач для несжимаемых идеальных и вязких жидкостей и исчезающей вязкости // Краевые задачи математической физики. Т. 5 (Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 21).— M.; Л.: Наука, 1971.— С. 65—78.
Мищенко А. С. Интегралы геодезических потоков на группах Ли // Функц. анализ и его приложения.—1970.— Т. 4, № 3.— С. 73—78.
