Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Фазовое пространство этой задачи бесконечномерно (это — пространство векторных полей дивергенции 0 в области течения), но бесконечномерность задачи не является, по-видимому, серьезным препятствием, по той причине, что вязкость гасит высокие гармоники (мелкие вихри) тем быстрее, чем выше номер гармоники. В результате фазовые кривые из бесконечномерного пространства,
РИМАНОВА КРИВИЗНА
281
по-видимому, приближаются к некоторому конечномерному многообразию (или множеству), которому и принадлежат предельные режимы.
При большой вязкости имеется устойчивое притягивающее положение равновесия в фазовом пространстве («устойчивое стационарное течение»). При уменьшении вязкости оно теряет устойчивость; при этом может возникать, например, устойчивый предельный цикл в фазовом пространстве («периодическое течение») или устойчивое положение равновесия нового типа («вторичное стационарное течение»)*). Затем, по мере уменьшения вязкости, в игру вступает все большее число гармоник и предельные режимы могут становиться более многомерными.
При малой вязкости кажется весьма правдоподобным выход на предельные режимы с экспоненциально неустойчивыми траекториями. К сожалению, до сих пор соответствующие вычисления не были проведены ввиду ограниченных возможностей имеющихся машин. Однако следующий общий вывод можно сделать и без вычислений: для возникновения явлений типа турбулентности нет необходимости в несуществовании или неединственности решений: достаточна экспоненциальная неустойчивость, которая встречается даже в детерминированных системах с конечным числом степеней свободы.
В качестве еще одного примера применения экспоненциальной неустойчивости укажем анонсированное Я. Г. Синаем доказательство «эргодической гипотезы» Больцмана для системы твердых шариков. Гипотеза состоит в том, что фазовый поток, соответствующий движению одинаковых абсолютно упругих шариков в ящике с упругими стенками, эргодичен на связных множествах уровня энергии. (Эргодичность означает, что почти каждая фазовая кривая проводит в каждой измеримой части множества уровня время, пропорциональное мере этой части.)
Гипотеза Больцмана позволяет заменять временные средние пространственными и считалась долгое время необходимой для обоснования статистической механики. В действительности для статистического предельного перехода (число частиц стремится к бесконечности) гипотеза Больцмана (в которой речь идет о пределе, когда время стремится к бесконечности) не нужна. Однако гипотеза Больцмана вызвала к жизни весь анализ стохастических свойств динамических систем (так называемую эргодическую теорию), и ее доказательство служит мерой зрелости этой теории.
Экспоненциальная неустойчивость траекторий в задаче Больцмана возникает вследствие соударений шариков друг с другом и может быть объяснена следующим образом.
*) Теория бифуркаций и теория возмущений (не только гамильтоновых, но и общих динамических систем) рассмотрены в учебнике: Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— M.: Наука, 1978.
282
ДОБАВЛЕНИЕ і
Рассмотрим для простоты систему всего из двух частиц на плоскости и заменим квадратный ящик с отражением от стенок плоским тором {(х, у) modd 1}. Тогда мы можем считать неподвижной одну из частиц (пользуясь сохранением импульсов); другую же частицу можно считать точкой.
Мы приходим, таким образом, к модельной задаче о движении точки по торическому бильярду с круглой стенкой в середине, от которой точка отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (рис. 235).
Для исследования этой системы рассмотрим еще аналогичный бильярд, ограниченный снаружи плоской выпуклой кривой (скажем, движение точки внутри эллипса). Движение на таком бильярде можно рассматривать как пре-Рис. 235. торичемшй Дельныи случай геодезического потока на повер-
бильярд' с рассеива- ХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДЭ. Предельный Переход СОСТОИТ
ющей круглой стен- в уМеньшении малой оси эллипсоида до нуля.
В результате геодезические на эллипсоиде переходят в бильярдные траектории на эллипсе. Мы обнаруживаем при этом, что эллипс разумно считать двусторонним и считать, что при каждом отражении геодезическая переходит с одной стороны эллипса на другую.
Вернемся теперь к нашему торическому бильярду. Движения на нем тоже можно рассматривать как предельный случай геодезического потока на гладкой поверхности. Эта поверхность получается, если рассмотреть тор с дырой как двустороннюю поверхность и придать ей некоторую толщину, слегка сгладив острое ребро. В результате получается поверхность с топологией кренделя (сферы с двумя ручками).
Если при раздувании эллипса в эллипсоид получается поверхность положительной кривизны, то при раздувании тора с дырой возникает поверхность отрицательной кривизны (в обоих случаях кривизна сосредоточена вблизи края, но раздувание можно провести так, чтобы знак кривизны не менялся).
Итак, движение в нашем торическом бильярде можно рассматривать как предельный случай движения по геодезическим на поверхности отрицательной кривизны.
