Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
1. Почти все фазовые траектории всюду плотны на многообразии уровня энергии (исключительные, не всюду плотные траектории образуют множество меры нуль).
2. Равномерное распределение: доля времени, которое почти каждая траектория проходит в любой области фазового пространства T1M, пропорциональна объему этой области.
РИМАНОВА КРИВИЗНА
279
3. Фазовый поток gl обладает свойством перемешивания: если А ж В — две области, то
lim mes l(g*A) f] В] = mes A mes В
t-*ao
(где mes означает объем, нормированный условием, что мера всего пространства равна 1).
Из этих свойств траекторий в фазовом пространстве вытекают аналогичные предложения о геодезических на самом многообразии. Физики называют эти свойства «стохастичностью»: асимптотически при больших t траектория ведет себя так, как если бы точка была случайной. Например, свойство перемешивания означает, что вероятность после выхода из А оказаться в В через большое время t пропорциональна объему В и т. п.
Итак, экспоненциальная неустойчивость геодезических на многообразии отрицательной кривизны приводит к стохастичности соответствующего геодезического потока.
Л. Другие применения экспоненциальной неустойчивости. Свойство экспоненциальной неустойчивости геодезических на многообразии отрицательной кривизны, начиная с Адамара (а в случае постоянной кривизны — еще Лобачевского), изучалось многими авторами, в особенности Э. Хопфом. Неожиданным открытием шестидесятых годов в этой области оказались удивительная устойчивость экспоненциально неустойчивых систем относительно возмущений самой системы.
Рассмотрим, например, векторное поле, задающее геодезический поток на компактной поверхности отрицательной кривизны. Как указано выше, фазовые кривые этого потока устроены весьма сложно: почти каждая из них всюду плотно заполняет трехмерное многообразие уровня энергии. У этого потока бесконечно много замкнутых траекторий, и множество точек замкнутых траекторий также всюду плотно в трехмерном многообразии уровня энергии.
Рассмотрим теперь близкое векторное поле. Оказывается, несмотря на всю сложность картины фазовых кривых, при переходе к близкому полю вся эта картина со всюду плотными фазовыми кривыми и бесконечным числом замкнутых траекторий почти не изменится. А именно, существует гомеоморфизм, близкий к тождественному преобразованию и переводящий фазовые кривые невозмущенного потока в фазовые кривые возмущенного.
Таким образом, наш сложно устроенный фазовый поток обладает таким же свойством «грубости» или «структурной устойчивости», как, скажем, предельный цикл, или устойчивый фокус на плоскости. Заметим, что ни центр на плоскости, ни обмотка тора таким свойством грубости не обладают: топологический тип фазового портрета в этих случаях меняется при малом изменении векторного, поля.
280
ДОБАВЛЕНИЕ і
Возможность грубых систем со сложными движениями, каждое из которых само по себе экспоненциально неустойчиво, является одним из основных открытий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений последнего времени (гипотеза грубости геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны была высказана С. Смейлом в 1961 г., а доказательство дано Д. В. Аносовым и опубликовано в 1967 г., основные результаты о стохастичности этих потоков получены Я. Г. Синаем и Д. В. Аносовым также в шестидесятых годах).
Ранее предполагалось, что в системе дифференциальных уравнений «общего вида» возможны лишь простейшие устойчивые предельные режимы: положения равновесия и циклы. Если же система устроена более сложно (например, является консервативной), то предполагалось, что при малом изменении ее уравнений (например, при учете малых неконсервативных возмущений) сложные движения «рассыплются» на простые. Теперь мы знаем, что это не так, и что в функциональном пространстве векторных полей имеются целые области, состоящие из полей с более сложным поведением фазовых кривых.
Выводы, которые отсюда следуют, затрагивают широкий круг явлений, в которых наблюдается «стохастическое» поведение детерминированных объектов.
Именно, представим себе, что в фазовом пространстве некоторой (неконсервативной) системы имеется притягивающее инвариантное многообразие (или множество), на котором фазовые кривые обладают свойством экспоненциальной неустойчивости. Мы знаем теперь, что системы с таким свойством не являются исключительными: при малом изменении системы указанные свойства не нарушаются. Что увидит экспериментатор, наблюдающий за движениями такой системы?
Приближение фазовых кривых к притягивающему множеству будет восприниматься как установление некоторого предельного режима. Дальнейшее движение фазовой точки около притягивающего множества будет вызывать хаотические, плохо прогнозируемые изменения «фаз» предельного режима, воспринимаемые как «стохастичность» или «турбулентность».
К сожалению, до сих пор не был проведен убедительный анализ физических примеров описанного характера с указанной точки зрения. Пример, напрашивающийся прежде всего — это гидродинамическая неустойчивость вязкой жидкости, описываемой так называемым уравнением Навье — Стокса.
