Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, каждое решение уравнения Якоби растет не медленнее е6'*' либо при t —» + оо, либо при t —» — оо; при этом большинство решений растет еще быстрее, со скоростью е°'*'.
Неустойчивость положения равновесия при отрицательно определенной потенциальной энергии в неавтономном случае интуитивно достаточно ясна. Ее можно доказать сравнением с подходящей автономной системой. В результате такого сравнения мы убеждаемся, что все решения уравнения Якоби для нормальных отклонений на многообразии отрицательной кривизны растут при движении вдоль геодезической не медленнее экспоненты прой-
РИМАНОВА КРИВИЗНА
277
денного пути, показатель которой равен корню квадратному из модуля кривизны по тому двумерному направлению, для которого этот модуль наименьший.
В действительности большинство решений растет еще быстрее, но мы не можем теперь утверждать, что показатель роста большинства решений определяется направлением самой большой по модулю отрицательной кривизны.
Резюмируя, мы можем сказать, что поведение геодезических на многообразии отрицательной кривизны характеризуется экспоненциальной неустойчивостью. Для количественной оценки этой неустойчивости полезно ввести характерный путь s как средний путь, при прохождении которого увеличиваются в е раз малые ошибки в начальных условиях.
Точнее, характерный путь s можно определить как обратную величину показателя %, характеризующего рост решений уравнения Якоби для нормальных отклонений от геодезической, проходимой со скоростью 1:
X --= Him -=- max max In I ? (t)\, s = 1/%.
T-OO 1 |(|<T H(O)I=I
Вообще говоря, показатель % и путь s зависят от начальной геодезической.
Если кривизны нашего многообразия по всем двумерным направлениям отграничены от нуля числом — о2, то характерный путь не превосходит Ь-1.
Таким образом, чем более отрицательна кривизна многообразия, тем меньше характерный путь s, на котором неустойчивость геодезических приводит к е-кратному нарастанию ошибок. Ввиду экспоненциального характера нарастания ошибок ход геодезической на многообразии отрицательной кривизны практически невозможно прогнозировать.
Предположим, например, что кривизна отрицательна и отграничена от нуля величиной — 4 м-2. Характерный путь не больше полуметра, т. е. на пятиметровом отрезке геодезической ошибка возрастет примерно в е10 ~ 104 раз. Следовательно, ошибка в десятую долю миллиметра в начальном условии скажется в виде метрового отклонения конца геодезической.
К. Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Пусть M — компактное риманово многообразие, кривизна которого в каждой точке по каждому двумерному направлению отрицательна (такие многообразия существуют). Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по многообразию M по инерции, вне поля действия всевозможных внешних сил. Функция Лагранжа этой системы равна кинетической энергии, равна полной энергии и является первым интегралом уравнений движения.
278
ДОБАВЛЕНИЕ 1
Если многообразие M имеет размерность п, то многообразие уровня энергии 2п — 1-мерно. Это многообразие является подмногообразием касательного расслоения многообразия М. Зафиксируем, например, значение постоянной энергии 1/2 (что соответствует начальной скорости 1). Тогда скорость точки всегда останется единичной, и наше многообразие уровня оказывается пространством расслоения
T1M С тм,
составленным из единичных сфер в касательных пространствах к M в каждой точке.
Таким образом, точка из многообразия T1M представляет собой вектор длины 1, приложенный в точке многообразия М. Согласно принципу Мопертюи — Якоби, движение материальной точки с фиксированным начальным условием из T1M можно описать следующим образом: точка движется со скоростью 1 по определенной указанным вектором геодезической.
Согласно закону сохранения энергии многообразие T1M является инвариантным многообразием в фазовом пространстве нашей системы.
Следовательно, наш фазовый поток определяет однопараметрп-ческую группу диффеоморфизмов 2п — 1-мерного многообразия T1M.
Эта группа называется геодезическим потоком на M. Геодезический поток может быть описан следующим образом: преобразование за время t переводит единичный вектор | ЄЕ T1M, приложенный в точке х, в единичный вектор скорости геодезической, выходящей из точки X по^направлению ?, приложенный в точке на этой геодезической, лежащей на расстоянии t от точки х. Заметим, что в T1M естественно определяется элемент объема и что геодезический поток его сохраняет по теореме Лиувилля.
Конечно, до сих пор отрицательность кривизны многообразия M не имела никакого значения. Но если мы займемся исследованием траекторий описанного геодезического потока, то окажется, что отрицательность кривизны многообразия M накладывает на поведение этих траекторий сильный отпечаток (это связано с экспоненциальной неустойчивостью геодезических на M).
Вот некоторые из свойств геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны (подробнее см. цитированную на стр. 266 книгу Д. В. Аносова).
